| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
 |
|
| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
Упражнения 3.4.
1. Найти аффинное преобразование, если известно, как оно преобразует один треугольник в другой (указаны вершины треугольников):
2. а) Показать, что в действительных координатах вращение пространства 
можно задать формулой:
б) Показать, что в комплексных координатах вращение пространства 
можно задать формулой:
3. а) Показать, что отражение относительно оси 
задается следующим образом:
или, в комплексной записи:
б) Показать, что отражение относительно оси 
задается следующим образом:
или, в комплексной записи:
Доказать, что любое аффинное преобразование плоскости можно записать в следующей комплексной форме:
где а, b и с — комплексные числа. Указание: представить 
в виде линейной комбинации 
а) Доказать, что вращение, отражение и сдвиг в 
являются изометриями.
б) Доказать, что любую изометрию на плоскости можно представить в виде:
или
где 
— матрица вращения из упр. 2, a 
— матрица отражения из упр. 3.
Пусть S задает преобразование подобия на 
с коэффициентом подобия 
Показать, что S можно представить в виде:
или
где 
— матрица вращения из упр. 2, а 
— матрица отражения из упр. 3.
Проверить формулу (3.21) для замены координат.
Найти преобразования, соответствующие отображениям, указанным на рис. 3.12. Каждое преобразование может состоять из сжатия, вращения и отражения. Записать ответ как в комплексной форме 
, так и в матричной:
Рис. 3.12. Отображения к упр. 8
| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
-
Предисловие
Глава 1. Введение
-
1.1. Что такое фракталы и хаос?
-
1.2. Предыстория
Глава 2. Классические фракталы
-
2.1. Самоподобие
-
Снежинка Коха.
-
Ковер Серпинского.
-
Губка Менгера.
-
Упражнения 2.1.
-
2.2. L-системы
-
Упражнения 2.2.
-
2.3. Пыль Кантора
-
Множество Кантора размерности d = 0,9542.
-
Множество Кантора размерности d = 1.
-
Упражнения 2.3.
-
2.4. Кривые Пеано
-
Упражнения 2.4.
-
Глава 3. Множества и отображения
-
Упражнения 3.1.
-
3.2. Метрические пространства
-
Упражнения 3.2.
-
3.3. Сжимающие отображения
-
Упражнения 3.3.
-
3.4. Аффинные преобразования
- Упражнения 3.4.
-
3.5. Метрика Хаусдорфа I
-
Упражнения 3.5.
Глава 4. Системы итерированных функций
-
4.1. Системы итерированных функций
-
Упражнения 4.1.
-
4.2. Реализация СИФ
-
Упражнения 4.2.
-
4.3. СИФ со сгущением
-
Упражнения 4.3.
-
4.4. Коллажи
-
Упражнения 4.4.
Глава 5. Размерность
-
5.1. Размерность Минковского
-
Самоподобные множества.
-
Эквивалентные метрики.
-
Упражнения 5.1.
-
5.2. Вычисление размерности
-
Упражнения 5.2.
Глава 6. Хаотическая динамика I
-
6.1. Аттрактор Лоренца
-
6.2. Итерированные отображения
-
Упражнения 6.2.
-
6.3. Универсальность Фейгенбаума
-
6.4. Периодичность Шарковского
-
Упражнения 6.4.
-
6.5. Хаос
-
Упражнения 6.5.
Глава 7. Хаотическая динамика II
-
7.1. Существенная зависимость
-
7.2. Символическая динамика
-
Упражнения 7.2.
-
7.3. Хаос и фракталы
-
Упражнения 7.3.
7.4. Подъем
-
Хаос: не полностью несвязный случай.
-
Подъем СИФ.
-
Упражнения 7.4.
-
7.5. Затенение
-
Упражнения 7.5.
-
7.6. Алгоритм рандомизированной СИФ
Глава 8. Комплексная динамика
-
8.1. Множества Жюлиа
-
8.2. Орбиты в множествах Жюлиа
-
Упражнения 8.2.
-
8.3. Множество Мандельброта
-
Упражнения 8.3.
-
8.4. Хаос и множества Жюлиа
-
Упражнения 8.4.
-
8.5. Проблема Кэли
-
Упражнения 8.5.
-
Глава 9. Случайные фракталы
-
9.1. Случайные возмущения
-
Упражнения 9.1.
-
9.2. Броуновское движение
-
Упражнения 9.2.
-
9.3. Срединное смещение
-
9.4. Фрактальное броуновское движение
-
Упражнения 9.4.
-
9.5. Срединное смещение и ФБД
-
Упражнения 9.5.
-
9.6. Фурье-анализ ФБД
-
9.7. Фильтрация Фурье
-
Упражнения 9.7.
-
Приложение А. Дополнительные сведения из анализа
-
А.2. Непрерывные отображения
-
А.3. Метрика Хаусдорфа II
-
А.4. Топологическая размерность.
-
А.5. Размерность Хаусдорфа
-
А.6. Быстрое преобразование Фурье
-
Приложение Б. Теория ренормализации и фракталы Пуанкаре
-
Б.2. Фракталы Пуанкаре
-
Список литературы