Упражнения 3.4.

1. Найти аффинное преобразование, если известно, как оно преобразует один треугольник в другой (указаны вершины треугольников):

2. а) Показать, что в действительных координатах вращение пространства можно задать формулой:

б) Показать, что в комплексных координатах вращение пространства можно задать формулой:

3. а) Показать, что отражение относительно оси задается следующим образом:

или, в комплексной записи:

б) Показать, что отражение относительно оси задается следующим образом:

или, в комплексной записи:

Доказать, что любое аффинное преобразование плоскости можно записать в следующей комплексной форме:

где а, b и с — комплексные числа. Указание: представить в виде линейной комбинации

а) Доказать, что вращение, отражение и сдвиг в являются изометриями.

б) Доказать, что любую изометрию на плоскости можно представить в виде:

или

где — матрица вращения из упр. 2, a — матрица отражения из упр. 3.

Пусть S задает преобразование подобия на с коэффициентом подобия Показать, что S можно представить в виде:

или

где — матрица вращения из упр. 2, а — матрица отражения из упр. 3.

Проверить формулу (3.21) для замены координат.

Найти преобразования, соответствующие отображениям, указанным на рис. 3.12. Каждое преобразование может состоять из сжатия, вращения и отражения. Записать ответ как в комплексной форме , так и в матричной:

Рис. 3.12. Отображения к упр. 8