8.4. Хаос и множества Жюлиа

Квадратичная функция с проявляет хаотическое поведение на своем множестве Жюлиа Вспомним теорему 6.5.3, где было доказано, что отображение хаотично на единичной окружности которая, как было отмечено в п. 8.1, является множеством Жюлиа для Фактически, в главе 6 был рассмотрен и ряд других примеров, подобных хаотическому поведению на

Одним из таких примеров является хаотическое поведение вещественной функции на отрезке [-2,2]. Как следует из приводимой ниже леммы, множество Жюлиа комплексной функции есть также отрезок [-2,2], а значит хаотична на

Лемма 8.4.2. Отрезок является множеством Жюлиа функции .

Доказательство. В п. 6.2 было отмечено, что если , то график пересекает прямую на отрезке [-2,2] точно раз (см. рис. 6.8) и точки пересечения различны. Таким образом, имеет различных периодических точек на [-2,2]. Комплексный полином степени имеет самое большее нулей в С. Таким образом, мы нашли все периодические точки, и они лежат на отрезке [-2,2]. Более того, они образуют плотное подмножество отрезка [-2,2] (их замыкание есть [-2,2]). Наклоны функций в точках пересечения с прямой как видно из графика, больше 1 по абсолютной величине. Следовательно, эти периодические точки отталкивающие. По определению 2 теоремы 8.2.2, множество суть замыкание отталкивающих периодических точек, то есть отрезок [-2,2].

В теореме 7.2.6 было доказано, что для вещественных и вещественных с, при для определенного значения функция с хаотична на некотором множестве захвата . является множеством точек для которых итерированные величины остаются ограниченными при Подробности см. в упр. 1 в конце параграфа.

Основная теорема о хаотическом поведении на множествах Жюлиа немедленно следует из теоремы 8.2.2.

Теорема 8.4.5. Квадратичная функция с хаотична на своем множестве Жюлиа при всех с .

Доказательство. Доказательство основывается на установлении условий периодичности и транзитивности, описанных в п. 6.5. Существенная зависимость от начальных условий при этом непосредственно следует из теоремы 7.1.1.

Периодичность. Условие периодичности, заключающееся в том, что периодические точки плотны в следует из определения 2 теоремы 8.2.2.

Транзитивность. Условие транзитивности состоит в том, что для любой пары открытых множеств U и V, которые пересекаются с существует такое, что Выполнение этого условия следует из определения 3 теоремы 8.2.2. Пусть U и V — открытые множества, пересекающиеся с и пусть По определению является замыканием множества

В частности, это объединение пересекается с U, и поэтому для некоторого выполняется . Выберем любую точку и в этом пересечении. Тогда и следовательно,