6.5. Хаос

Следует особо подчеркнуть, что под хаосом мы, как и в большей части математической литературы, понимаем некоторое свойство детерминированных динамических систем, таких, как системы итерированных отображений. Позднее, в другой главе, мы будем рассматривать случайные процессы, которые генерируют фракталы. Но стохастичность представляет собой совершенно другое явление, отличное от хаоса в детермированном смысле. И детерминированность является единственным смысловым контекстом, в котором мы будем в дальнейшем применять термин «хаос». Примеры такого типа хаоса встречаются во многих математических дисциплинах, включая, например, исследования математических моделей метеосистем.

Определение хаоса.

Большинство читателей знает из популярной литературы, что основополагающей чертой хаоса является существенная зависимость от начальных условий. Определение хаоса, которое принимаем мы, первоначально было сформулировано Девани [11], и имеет три составные части. В дополнение к условию существенной зависимости в него входит условие перемешивания, именуемое транзитивностью, и условие регулярности, именуемое плотностью периодических точек. Достаточно неожиданным явилось то, что, как доказал Дж. Бэнкс с соавторами [3] в 1992 году, условие существенной зависимости от начальных условий является избыточным, то есть из выполнения условий транзитивности и периодичности следует условие существенной зависимости.

Это доказательство приведено в п. 7.1. Тем не менее, чтобы облегчить понимание хаоса, мы будем давать его определение в первоначальном виде и непосредственно доказывать условие существенной зависимости, когда это требуется, не ссылаясь на указанную выше теорему.

Рассмотрим метрическое пространство (X,d). Будем называть отображение : хаотическим, если выполняются следующие условия.

1. f обладает существенной зависимостью от начальных условий.

2. f транзитивно.

3. Периодические точки плотны в X.

Строгая формулировка первого условия такова. Пусть , а U — открытое множество, содержащее Отображение обладает существенной зависимостью от начальных условий, если для некоторого существуют такое целое число и такая точка что (см. Рис. 6.11).

Отображение называется транзитивным, если для любой пары открытых множеств существует такое что (см. рис. 6.12). Используя теорему Бэра о категориях из теории метрических пространств, можно показать, что если метрическое пространство полное, то транзитивность равносильна существованию плотной орбиты, то есть такой орбиты, замыкание которой равно всему X.

Наконец, свойство плотности периодических точек означает, что в любой окрестности любой точки в X существует по крайней мере одна периодическая точка (и, следовательно, бесконечно много периодических точек).

Существуют и другие определения хаоса. Например, Гулик [19] называет хаос, описанный выше, строгим хаосом. Просто хаос, по его определению, существует тогда, когда либо имеется существенная зависимость от начальных условий, либо функция имеет положительный показатель Ляпунова в каждой точке области ее определения и поэтому не является в конечном итоге периодической. Мы отсылаем читателей к [19] за обсуждением показателей Ляпунова. Как было сказано выше, Бэнкс с соавторами [3] доказали, что условие существенной зависимости является избыточным при наличии транзитивности и плотности периодических точек. Позже Ассаф и Гадбуа построили контрпримеры [2], из которых следовало, что ни транзитивность, ни плотность периодических точек невыводимы из оставшихся двух условий.

Рис. 6.11. Существенная зависимость от начальных условий

Недавно Кнудсен [28] показал, что как существенная зависимость, так и транзитивность устойчивы по отношению к замыканию, а также при ограничении на плотные инвариантные подмножества. Он высказал предположение, что функция, заданная на ограниченном метрическом пространстве, может быть определена как хаотическая, если она имеет плотную орбиту и обладает существенной зависимостью от начальных условий.

Удвоение угла. Рассмотрим простейший пример хаотического поведения. Обозначим через окружность (одномерную сферу) на плоскости, . В комплексной записи

Определим уравнением:

Если же обозначить элементы как комплексные числа , тогда получаем:

то есть обычный комплексный квадратичный полином.

Рис. 6.12. Транзитивность

Теорема 6.5.3. Функция , или, что эквивалентно, квадратичная функция хаотична на окружности .

Доказательство. Мы должны показать, что удовлетворяет условиям существенной зависимости, транзитивности и периодичности.

Существенная зависимость. Предположим, что — открытое множество, содержащее . Пусть А — открытая дуга в U, содержащая . Отметим, что представляет собой дугу, которая имеет в раз большую протяженность, чем А, если допустить многократный обход окружности (рис. 6.13). При достаточно большом покрывает всю окружность . Зафиксируем такое . Для выбранного существуют точки в А, а следовательно, и в U, которые разнесены посредством по крайней мере на единичное расстояние. Таким образом, условие существенной зависимости выполняется при

Транзитивность. Пусть U и V — открытые множества в Рассуждая таким же образом, как и выше, для достаточно большого получаем, что покрывает и поэтому пересекает V.

Периодичность. Точки имеющие период , удовлетворяют равенству , то есть они являются корнями из единицы порядка . Множество всех корней такого вида (для всех ) плотно в

Рис. 6.13. Действие

Подробности доказательства оставлены для упражнений (упр. 1 в конце данного параграфа).

Тентообразное отображение.

Функция

график которой приведен на рис. 6.14, иногда называется тентообразным отображением. Рассмотрим его динамику при итерировании. Пусть — начальная точка, и пусть или, что равносильно,

Обозначим через множество начальных точек, которым соответствуют ограниченные орбиты Легко видеть (упр. 2 в конце настоящего параграфа), что если при некотором либо , либо , то орбита расходится к Таким образом, .

Рис. 6.14. Тентообразное отображение,

Более того, в не входят все точки отрезка [0,1], в которых для некоторого . Для это означает, что не содержит эткрытый интервал Для два интервала, (1/9,2/9) и (7/9,8/9), не принадлежат (рис. 6.15). Продолжая далее в таком же духе, мы убеждаемся, что из выбрасываются те же самые открытые интервалы, что и при построении классического канторова множества С. Таким образом,

Для того чтобы убедиться, что покажем, что . Положим, что имеет представление (см. п. 2.3):

где

Рис. 6.15.

Если

Так как каждый числитель в последнем выражении принимает значение 0 или 2, то и в этом случае .

Теорема 6.5.4. Тентообразная функция

хаотична на классическом канторовом множестве С.

Доказательство. Мы докажем свойства существенной зависимости, транзитивности и периодичности, сопутствующие хаосу.

Существенная зависимость. Пусть . Пусть U — открытое множество, содержащее Выберем такое достаточно большое , чтобы при . Пусть — множество, полученное на шаге построения канторова множества (рис. 2.20). Для такое множество состоит из интервалов длины Обозначим через некоторый интервал, содержащий . Из выражений, приведенных непосредственно перед данной теоремой, имеем . Из этого следует, что существует такая точка , что

Транзитивность. Транзитивность следует из тех же соображений, которые использовались при доказательстве существенной зависимости. В любой окрестности U существует интервал для которого и поэтому имеет непустое пересечение с каждой окрестностью V, содержащей точки С.

Периодичность. Графики функций очевидно, пересекаются в точности раз, а значит имеет неподвижных точек. Орбиты этих неподвижных точек по необходимости ограничены и поэтому они принадлежат отмеченному множеству и, следовательно, . Из того, что каждый из подинтервалов, образующих содержит по две неподвижные точки следует, что эти неподвижные точки образуют плотное подмножество в С.

Обратный сдвиг. Пусть С — классическое канторово множество, образуемое выбрасыванием серединных третей отрезков. Напомним, что каждому соответствует единственное троичное представление

в котором каждая цифра . Это означает, что

Мы покажем, что функция, именуемая обратным сдвигом (или просто сдвигом) троичного представления, хаотична на С. Эта функция определяется как

Очевидно, что

Так как

то, следовательно, В(х) может быть описана арифметически в виде уравнения:

за исключением значений х = 1/3 или х = 1.

Приводимое ниже доказательство теоремы интересно само по себе, но оно также указывает путь, по которому в п. 7.2 будет доказываться важный результат о хаотическом поведении сдвига в абстрактно определенном «символьном» пространстве.

Теорема 6.5.5. Обратный сдвиг ведет себя хаотически на канторовом множестве С.

Доказательство.

Существенная зависимость. Положим . Пусть и пусть U — открытое множество, содержащее Выберем такое чтобы шар радиуса содержался в U. Образуем точку , сначала полагая , а затем изменяя значения на . По построению,

Из этого следует, что

то есть условие существенной зависимости выполняется.

Транзитивность. Для доказательства транзитивности положим, что U и V — открытые множества, которые без потери общности можно считать не имеющими общих элементов. Выберем точку из С, которая принадлежит U и точку из С, которая принадлежит V. Выберем такое , что для . При таком выборе точка , определенная как

принадлежит U, так как

С другой стороны,

Таким образом, обратный сдвиг транзитивен.

Как уже отмечалось при определении транзитивности, она эквивалентна наличию единственной точки , орбита которой плотна в пространстве. В приведенном примере такая точка имеет вид:

Эта запись получена последовательным выписыванием всех блоков нулей и двоек длины 1, затем всех блоков длины 2 и т. д. Вертикальная черта используется для отделения блоков длины 1 от блоков длины 2 и т. д. При любом принадлежащем С, и любом , существует такой блок длины в представлении , что первые его элементов равны соответствующим элементам в представлении у. Положим, что такой блок начинается с индекса к в представлении . Тогда

Из этого следует, что (упр. 7 в конце данного параграфа). Так как при любом можно выбрать достаточно большое такое, что то существует точка В орбиты которая принадлежит -шару с центром в у.

Следовательно, орбита точки плотна в С.

Периодичность. Покажем, что любая точка может быть аппроксимирована с заданной точностью периодической точкой. Последовательность периодических точек в С, определенная как

должна сходиться к что и требовалось доказать.

Применение обратного сдвига.

Приведем еще один пример хаотической функции, заданной при помощи оператора обратного сдвига. Он аналогичен предыдущему примеру обратного сдвига, определенного на троичных представлениях точек классического канторова множества С. Однако теперь мы будем иметь дело непосредственно с абстрактными символами, а не с конкретными представлениями, как в троичном случае. Данный пример можно рассматривать как введение или предварительное рассмотрение темы п. 7.3, «Хаос и фракталы».

Пусть S — аттрактор для итерированной функции, определенной в виде аффинных отображений (рис. 6.16):

Аттрактор S представляет собой вполне несвязное множество и, фактически, является модифицированным множеством Кантора. Сопоставим каждой точке последовательность целых чисел

(6.9)

которая служит ее адресом. Например, наличие адреса точки в виде просто означает, что выполняются утверждения:

Адреса точек в S на уровне 2 изображены на рис. 6.17.

Легко видеть, что каждая точка имеет единственный адрес в виде (6.9) и что каждая последовательность вида (6.9) определяет единственную точку . Если имеет адрес , а у имеет адрес , то мы можем оценить расстояние между х и у следующим образом. Если для , но , то х и у лежат в множестве , и диаметр этого множества равен , так что

Используя адреса, можно естественным образом задать хаотическое отображение на аттракторе S. Если точка имеет адрес , то оператор обратного сдвига В действует на х следующим образом:

Определим теперь как точку имеющую адрес В(а). Будем называть отображением на S, индуцированным обратным сдвигом.

Теорема 6.5.6. Отображение индуцированное обратным сдвигом в соответствии с формулой (1-11), хаотично.

Доказательство. Доказательство в основном повторяет рассуждения, приведенные в теореме 6.5.5.

Существенная зависимость. Пусть — открытое множество, содержащее — минимальное расстояние между точками в любой паре множеств Зададим адрес в виде:

Рис. 6.16. Вполне несвязный ковер Серпинского (уровень 3)

Рис. 6.17. Адреса на уровне 2

Выберем такое , чтобы шар радиуса содержался в U. Создадим адрес

сначала полагая , а затем изменяя символ так, чтобы он уже не равнялся . Пусть у — точка в S, имеющая адрес . В соответствии с неравенством (1.10),

В частности, у

По построению

Из этого следует, что , которые имеют адреса лежат в разных множествах . Поэтому

что подтверждает выполнение условия существенной зависимости.

Транзитивность. Для доказательства транзитивности положим, что U и V открытые множества, которые без потери общности можно предположить не имеющими общих элементов. Выберем точки , и пусть соответствующие им адреса имеют вид

и

Выберем такое , что для имеет место . Тогда точка , имеющая адрес

содержится в U в соответствии с неравенством (1.10). Более того, имеет адрес и поэтому

Таким образом условие транзитивности выполняется.

Периодичность. Мы должны доказать, что любая точка может быть аппроксимирована с любой точностью периодической точкой. Пусть х имеет адрес Последовательность периодических точек в S, определенных адресами

должна сходиться к , что и доказывает периодичность.