Упражнения 8.3.

1. Покажите, что уравнение

описывает кардиоиду при изменении в в пределах

2. Покажите, что множество Мандельброта симметрично относительно вещественной оси. Для этого покажите, что отображение топологически сопряжено по отношению к , где и — комплексно-сопряженные числа. Затем исследуйте орбиты точки 0 при этих двух отображениях.

3. (Компьютерный эксперимент.) Начните с тщательного построения изображения множества Мандельброта и приближенно определите центр (значение с) какого-либо элемента обрамления, например, одной из окружностей, касающихся главной кардиоиды. Затем вычислите определенный участок орбиты и постарайтесь по ее асимптотическому поведению определить период. Проделайте это для нескольких окружностей, отмеченных на рис. 8.18.

4. (Компьютерный эксперимент.) Используйте компьютер для получения изображения множества Мандельброта для Покажите, что если , то орбита z стремится к