Научная библиотека

Эквивалентные метрики.

Теорема 5.1.4. Пусть — эквивалентные метрики, А — компакт с размерностью Минковского в -метрике (см. (5.4)). Тогда -метрике.

Доказательство. Из эквивалентности метрик следует, что можно указать такие постоянные , для которых выполняется неравенство:

Обозначим через шары радиуса с центром в а через — число шаров, необходимых для покрытия А, в и -метрике, соответственно.

Несложно показать (упр. 6 в конце этого параграфа), что из (5.8) следует:

Тогда

а значит, если

По условию,

Учитывая, что (упр. 7 в конце этого параграфа):

получаем:

Для численного определения размерности Минковского некоторого множества А его надо аппроксимировать конечным объединением шаров. Из последней теоремы немедленно следует, что вместо шаров в евклидовой метрике (кругов на плоскости) можно использовать кубы (квадраты на плоскости). Вопросу численного определения размерности Минковского посвящен п. 5.2.

Следствие 5.1.2. Пусть А — компактное подмножество — размерность Минковского множества А, подсчитанная с помощью покрытия А шарами в евклидовой метрике. Если вместо последних использовать шары в -метрике (то есть )

Доказательство. Из упр. 3(в) п. 3.2 следует, что метрики эквивалентны, так как

Второе важное следствие касается размерности фракталов, подвергнутых преобразованию. Представим себе фрактал, нарисованный на резиновой пленке. Будем растягивать ее произвольным образом в разные стороны. Изменится ли размерность фрактала? При некоторых ограничениях — нет. Во-первых, будем рассматривать только взаимно однозначные преобразования, когда каждой точке исходного фрактала соответствует одна и только одна точка нового фрактала. Также потребуем, чтобы преобразование было непрерывным, что исключает возможность «нашинковать» оригинал, а затем склеить кусочки произвольным образом. Но и этого еще недостаточно для того, чтобы размерность не изменилась. За примером обратимся к теореме 5.1.2, в которой рассматривается множество . Если применить к А преобразование , то размерность Минковского множества будет отличаться от размерности исходного множества (см. упр. 1 в конце параграфа).

Следующий простой критерий сохранения размерности сформулирован в терминах евклидовой метрики на , но применим также и в случае произвольной эквивалентной метрики.

Следствие 5.1.3. Пусть А — компакт в . Рассмотрим взаимно однозначное преобразование А в :

где

и

Пусть все частные производные , непрерывны на А, а все частные производные компонент обратного преобразования непрерывны на А. Тогда

Доказательство. Ограничимся случаем Определим новую метрику на А:

Так как преобразование f — взаимно однозначное, то действительно является метрикой. Докажем эквивалентность -метрики и евклидовой метрики на А. Сначала покажем, что

для некоторого По условию, частные производные непрерывны, а значит существует такое число что

Положим

Тогда

Аналогичное неравенство выполняется и для . Объединяя оба неравенства, получим:

Обратное преобразование удовлетворяет аналогичному неравенству. Таким образом, -метрика эквивалентна евклидовой.

По теореме 5.1.4 размерность А (или ) в евклидовой метрике и в -метрике одна и та же. Следовательно, размерность А в евклидовой метрике в точности равна размерности А в -метрике.