Упражнения 9.2.

1. Докажите, что размерность поверхности двумерного броуновского движения равна d = 2,5, по аналогии с доказательством для размерности в одномерном случае (d = 1,5).

2. Докажите, что одномерное броуновское движение не монотонно (почти наверное) на любом интервале.

3. Докажите, что если — одномерное броуновское движение и , то удовлетворяет (почти наверное) условию равномерности Гельдера

4. Пусть — независимые одномерные броуновские движения, определенные для . Докажите, что путь на плоскости, заданный в виде имеет фрактальную размерность (почти наверное).

5. Пусть — независимые одномерные броуновские движения, определенные для Докажите, что путь в заданный в виде имеет размерность (почти наверное).