Глава 7. Хаотическая динамика II

7.1. Существенная зависимость

Следующая теорема, касающаяся определения хаоса, появилась в [3] в 1992 году.

Теорема 7.1.1. Пусть (X,d) — метрическое пространство, содержащее бесконечное множество точек. Если отображение непрерывно и транзитивно, а периодические точки плотны в X, то обладает существенной зависимостью от начальных условий.

Доказательство. Во-первых, договоримся об обозначениях. Орбита точки определяется как

Если

Если

Замечание: использование обозначения в данном контексте отличается от приведенного в прил. А.3.

Выберем две произвольные периодические точки , имеющие непересекающиеся орбиты . Пусть

Мы покажем, что условие существенной зависимости выполняется при .

Заметим, что и что для любого , либо , либо .

Пусть , а U — открытое множество, содержащее Как обычно, обозначим через открытый шар радиуса с центром в . Пусть — периодическая точка в периода . Исходя из приведенных выше рассуждений, одна из периодических точек, или (обозначим ее q), имеет орбиту, удовлетворяющую неравенству . Положим

Множество V непусто, так как , и открыто, так как прообразы при непрерывных отображениях открытых множеств открыты (прил. А.2). Вследствие транзитивности существуют точка у и целое число к, такие, что .

Пусть j — целая часть . Следовательно, , где — дробная часть, . Очевидно, что целое число равно . Отсюда следует, что

По построению,

Оценим или, что эквивалентно, , так как имеет период . Пусть

Заметим, что . Применим неравенство треугольника к треугольникам с вершинами :

Тогда

или

По построению,

Так как , то и поэтому

то

Применяя неравенство треугольника к треугольнику с вершинами , получаем:

так как если длина одной из сторон треугольника больше 25, то одна из двух оставшихся сторон имеет длину по меньшей мере 5. В обоих случаях существует точка (у или ) в W, -итерация которой находится на расстоянии, большем , от .