Упражнения 6.2.

1. Пусть — неподвижная точка действительной дифференцируемой функции

а) Покажите, что если , то является притягивающей точкой.

б) Покажите, что если , то является отталкивающей точкой.

в) Покажите, что если , то может не быть ни притягивающей, ни отталкивающей (приведите пример).

2. Докажите, что функция имеет только одну неподвижную точку и при любом выборе начальной точки орбита (итерационная последовательность) сходится к ней.

В упр. 3-6 принимаем в качестве неподвижных точек.

3. а. Покажите, что если , то — .

б. Покажите также, что если или , то орбита стремится к

4. Покажите, что при прохождении параметра с через значение —3/4, величина возрастая, проходит через 1, и, следовательно, из притягивающей становится отталкивающей.

5. Покажите, что если , то наименьшая величина при меньше .

6. Покажите, что если и любой член итерации становится меньше то орбита стремится к

7. Положим . Нарисуйте Что вы можете сказать о числе неподвижных точек