Упражнения 3.3.

1. Пусть — дифференцируемое действительное отображение, причем для всех Показать, что есть отображение Липшица с постоянной s такой, что:

2. Пусть на отрезке

а) Показать, что есть отображение Липшица с постоянной 1, а значит не является сжимающим отображением на указанном интервале.

б) Показать, что для любого а, удовлетворяющего неравенству — сжимающее отображение на [0, а].

3. Пусть непрерывна на отрезке Используя теорему о среднем значении, доказать, что имеет неподвижную точку на . Указание: рассмотреть

4. Используя доказательство теоремы о сжимающих отображениях, вывести выражение для оценки погрешности после итераций:

5. Применим теорему о сжимающих отображениях к ограниченному метрическому пространству X. Показать, что выражение для оценки погрешности после итераций выглядит следующим образом:

где — диаметр X.

6. Доказать теорему о сходимости метода Ньютона нахождения нуля Пусть Предположим, что дважды непрерывно дифференцируема на некотором открытом интервале, содержащем с. Пусть — начальное приближение к точке с. Положим:

Тогда существует такой интервал, содержащий с, что если принадлежит этому интервалу, то:

Указание: Применить теорему о сжимающих отображениях к

7. Пусть — метрические пространства. Рассмотрим сжимающие отображения

и

с коэффициентами сжатия соответственно. Определим и d на X следующим образом:

Определим на

а) Доказать, что (X, d) — метрическое пространство.

б) Доказать, что — сжимающее отображение с коэффициентом сжатия