8.1. Множества Жюлиа

Макеты страниц

Глава 8. Комплексная динамика

8.1. Множества Жюлиа

Вероятно, нельзя привести пример такого компьютерного эксперимента, который впечатлением от результатов превосходил бы то чувство удивления и восхищения, которое вызывает графическое построение множеств Жюлиа и множества Мандельброта на плоскости. Материал данной главы является продолжением изучения динамики итераций, фрактальных аттракторов и хаоса. Но для более глубокого понимания предмета требуются знания достаточно продвинутых разделов теории функций комплексного переменного, которые вряд ли уместно излагать здесь в полном объеме. Заинтересованный читатель может ознакомиться с необходимыми сведениями по ТФКП в [8], а доказательство теорем, относящихся к комплексной динамике, он найдет в [11] или [14].

Через С будем обозначать множество всех комплексных чисел . Комплексное число будем обозначать Вещественная часть z равна а, а мнимая часть z равна вещественному числу b. Будем обозначать их как

Модуль комплексного числа обозначаемый определяется как евклидова длина вектора , то есть

Когда мы говорим, что последовательность комплексных чисел стремится к бесконечности:

то под этим мы понимаем, что для любого данного существует такое, что для всех справедливо , то есть все точки лежат вне круга радиуса М для достаточно больших значений .

При этом не требуется, чтобы стремились к вдоль по прямой или какой-то кривой, просто абсолютные величины должны расти неограниченно.

Ограничимся далее рассмотрением функций, которые представляют собой полиномы одного комплексного переменного. Пусть

— полином степени коэффициенты — комплексные числа (в частном случае, вещественные).

Множество Жюлиа функции обозначаемое определяется как

Таким образом, множество Жюлиа функции есть граница множества точек , стремящихся к бесконечности при итерировании Множество названо в честь французского математика Гастона Жюлиа (1893-1978), который одновременно с Пьером Фату (1878-1929) в 1917-19 гг. написал основополагающие статьи по итерированию функций комплексного переменного. Еще раз мы видим впечатляющий пример математических исследований, которые далеко опередили свое время в том смысле, что потребовалось более пятидесяти лет, прежде чем компьютерная графика достигла уровня, позволяющего наблюдать эти математические объекты.

Простейшее множество Жюлиа соответствует случаю Так как то при тогда и только тогда, когда Границей этого множества, то есть множеством Жюлиа, является единичная окружность которая фракталом не является, хотя в общем случае множество Жюлиа есть фрактал. Тем не менее, функция хаотична на своем множестве Жюлиа (на единичной окружности), как было показано в главе 6.

Можно написать простую программу для построения заполняющего множества Жюлиа. Заполняющее множество Жюлиа состоит из точек, орбиты которых пойманы, в отличие от границы этого множества, которое и является настоящим множеством Жюлиа. Заполняющие множества более привлекательны визуально и именно по этой причине наиболее часто реализуются программно. Такая программа наилучшим образом работает в случае множеств Жюлиа, обладающих притягивающей периодической орбитой.

В первую очередь и в основном, мы будем изучать множества Жюлиа квадратичных функций

где с — константа в С. Такой подход не является ограниченным, как это может показаться, так как рассмотрение произвольного квадратичного полинома, скажем, , может быть сведено к указанному выше частному случаю простой заменой переменных (упр. 1 в конце данного параграфа). Множество Жюлиа для симметрично относительно горизонтальной оси. При написании программы это обстоятельство можно использовать для уменьшения объема вычислений, то есть вычислить множество Жюлиа в верхней полуплоскости, а затем отразить его на нижнюю полуплоскость. Однако в алгоритме 8.1.1 этого не делается с целью оставить возможность отображения множества на весь экран в различных масштабах. Как следует из приводимой ниже теоремы, в случае можно прекратить вычисление орбиты, как только величины достигают значения по модулю. Орбиты таких точек гарантированно стремятся к бесконечности.

Теорема 8.1.1. Предположим, что . Пусть и пусть для . Если существует такое что то имеет место

то есть орбита стремится к бесконечности и z не принадлежит множеству Жюлиа

Доказательство. Без потери общности можно предположить, что . Получаем

Пусть 6 удовлетворяет условию Исследуя производную вещественнозначной функции на интервале легко видеть, что и вследствие этого

Таким образом,

Для итерации получим:

и это выражение стремится к когда становится достаточно большим.

Следующая программа, записанная в псевдокодах, строит заполняющее множество Жюлиа.

Алгоритм 8.1.1. (ЗАПОЛНЯЮЩЕЕ МНОЖЕСТВО ЖЮЛИА)

Назначение: строит заполняющее множество Жюлиа для функции .

Вход:

Выход:

изображение заполняющего множества Жюлиа

Инициализация:

графический экран для окна

Шаги:

На рис. 8.1, 8.2, 8.3 и 8.4 приведены некоторые заполняющие множества Жюлиа, полученные с помощью алгоритма 8.1.1 (окно 576 х 576 пикселов).

Несложно написать программу, отображающую только граничные точки, то есть настоящее множество Жюлиа. Отличие этой программы от предыдущей заключается в том, что как только находится точка, обладающая захваченной орбитой, скажем, в пикселе с координатами , то сразу проверяются орбиты точек, являющихся четырьмя «соседями» с координатами и (), на свойство ухода в бесконечность (рис. 8.5). Если хотя бы одна из них стремится к бесконечности, то точка с координатами (j, k) помечается как элемент множества Жюлиа.

Для того чтобы сократить объем требуемой памяти, но при этом сохранить возможность доступа к уже просчитанным орбитам, можно хранить три строки (или столбца) результатов, причем значение 1 кодирует захваченные точки, а значение 0 — точки, уходящие в бесконечность. Значения средней строки проверяются с помощью описанного выше критерия для обнаружения граничных точек. Как только это проделано и полученные значения отображены на экран, запоминается новая строка, а предыдущая строка стирается. Процедура повторяется до тех пор, пока не будут обработаны все внутренние строки.

На рис. 8.6, 8.7 и 8.8 изображены несколько множеств Жюлиа, построенных по этой программе для окон 576 х 576 пикселов. Существует еще один алгоритм, наиболее подходящий для цветных изображений, известный под названием «алгоритм времени убегания», в котором цвета (или уровни черно-белого) используются для индикации относительных промежутков времени (числа итераций), необходимых для того, чтобы выполнялось условие убегания