| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
 |
|
| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
7.5. Затенение
Что можно сказать о неточно определенных орбитах 
на аттракторе СИФ? Ради простоты рассмотрения мы ограничимся полностью несвязным случаем, когда аттрактор Е представляет собой объединение непересекающихся множеств 
определена как 
, где 
— единственный индекс, при котором 
. Как и ранее, мы полагаем коэффициенты сжатия равными 
Следующая теорема затенения говорит о том, что вблизи каждой неточно сосчитанной орбиты в Е существует точная орбита.
Предостережение. Эта теорема не говорит о том, что именно происходит в результате ошибок округления. Трудность заключается в том, что из-за ошибок округления вычисленные точки обычно покидают аттрактор, и как только это происходит, 
становится плохо определенной. Орбита устремляется к бесконечности, даже если каждый раз контролировать выбор функции 
(см. упр. 1 в конце параграфа).
Теорема 7.5.15. Пусть 
— произвольная начальная точка, 
— приближенная орбита:
причем
где 
— заданная точность.
Тогда существует точная орбита 
которая находится в тени 
, то есть:
Доказательство. Каждая точка 
равна приблизительно 
равно 
для некоторого 
. Точка 
которую мы ищем для вычисления точной орбиты, определяется в терминах индексов 
где функция 
задана формулой (7.5). Таким образом, точная орбита включает в себя точки
или, что равносильно,
Заметим, что для любого индекса 
оба значения 
вычисляются с использованием 
откуда
Пусть k — положительное целое. Тогда
где 
есть диаметр Е. Поэтому
и
На следующем уровне
Продолжая в таком же духе, получаем, что для любого 
Заменяя 
на 
, получаем
Устремляя к 
получаем требуемое неравенство.
| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
-
Предисловие
Глава 1. Введение
-
1.1. Что такое фракталы и хаос?
-
1.2. Предыстория
Глава 2. Классические фракталы
-
2.1. Самоподобие
-
Снежинка Коха.
-
Ковер Серпинского.
-
Губка Менгера.
-
Упражнения 2.1.
-
2.2. L-системы
-
Упражнения 2.2.
-
2.3. Пыль Кантора
-
Множество Кантора размерности d = 0,9542.
-
Множество Кантора размерности d = 1.
-
Упражнения 2.3.
-
2.4. Кривые Пеано
-
Упражнения 2.4.
-
Глава 3. Множества и отображения
-
Упражнения 3.1.
-
3.2. Метрические пространства
-
Упражнения 3.2.
-
3.3. Сжимающие отображения
-
Упражнения 3.3.
-
3.4. Аффинные преобразования
-
Упражнения 3.4.
-
3.5. Метрика Хаусдорфа I
-
Упражнения 3.5.
Глава 4. Системы итерированных функций
-
4.1. Системы итерированных функций
-
Упражнения 4.1.
-
4.2. Реализация СИФ
-
Упражнения 4.2.
-
4.3. СИФ со сгущением
-
Упражнения 4.3.
-
4.4. Коллажи
-
Упражнения 4.4.
Глава 5. Размерность
-
5.1. Размерность Минковского
-
Самоподобные множества.
-
Эквивалентные метрики.
-
Упражнения 5.1.
-
5.2. Вычисление размерности
-
Упражнения 5.2.
Глава 6. Хаотическая динамика I
-
6.1. Аттрактор Лоренца
-
6.2. Итерированные отображения
-
Упражнения 6.2.
-
6.3. Универсальность Фейгенбаума
-
6.4. Периодичность Шарковского
-
Упражнения 6.4.
-
6.5. Хаос
-
Упражнения 6.5.
Глава 7. Хаотическая динамика II
-
7.1. Существенная зависимость
-
7.2. Символическая динамика
-
Упражнения 7.2.
-
7.3. Хаос и фракталы
-
Упражнения 7.3.
7.4. Подъем
-
Хаос: не полностью несвязный случай.
-
Подъем СИФ.
-
Упражнения 7.4.
- 7.5. Затенение
-
Упражнения 7.5.
-
7.6. Алгоритм рандомизированной СИФ
Глава 8. Комплексная динамика
-
8.1. Множества Жюлиа
-
8.2. Орбиты в множествах Жюлиа
-
Упражнения 8.2.
-
8.3. Множество Мандельброта
-
Упражнения 8.3.
-
8.4. Хаос и множества Жюлиа
-
Упражнения 8.4.
-
8.5. Проблема Кэли
-
Упражнения 8.5.
-
Глава 9. Случайные фракталы
-
9.1. Случайные возмущения
-
Упражнения 9.1.
-
9.2. Броуновское движение
-
Упражнения 9.2.
-
9.3. Срединное смещение
-
9.4. Фрактальное броуновское движение
-
Упражнения 9.4.
-
9.5. Срединное смещение и ФБД
-
Упражнения 9.5.
-
9.6. Фурье-анализ ФБД
-
9.7. Фильтрация Фурье
-
Упражнения 9.7.
-
Приложение А. Дополнительные сведения из анализа
-
А.2. Непрерывные отображения
-
А.3. Метрика Хаусдорфа II
-
А.4. Топологическая размерность.
-
А.5. Размерность Хаусдорфа
-
А.6. Быстрое преобразование Фурье
-
Приложение Б. Теория ренормализации и фракталы Пуанкаре
-
Б.2. Фракталы Пуанкаре
-
Список литературы