7.5. Затенение

Что можно сказать о неточно определенных орбитах на аттракторе СИФ? Ради простоты рассмотрения мы ограничимся полностью несвязным случаем, когда аттрактор Е представляет собой объединение непересекающихся множеств определена как , где — единственный индекс, при котором . Как и ранее, мы полагаем коэффициенты сжатия равными

Следующая теорема затенения говорит о том, что вблизи каждой неточно сосчитанной орбиты в Е существует точная орбита.

Предостережение. Эта теорема не говорит о том, что именно происходит в результате ошибок округления. Трудность заключается в том, что из-за ошибок округления вычисленные точки обычно покидают аттрактор, и как только это происходит, становится плохо определенной. Орбита устремляется к бесконечности, даже если каждый раз контролировать выбор функции (см. упр. 1 в конце параграфа).

Теорема 7.5.15. Пусть — произвольная начальная точка, — приближенная орбита:

причем

где — заданная точность.

Тогда существует точная орбита которая находится в тени , то есть:

Доказательство. Каждая точка равна приблизительно равно для некоторого . Точка которую мы ищем для вычисления точной орбиты, определяется в терминах индексов

где функция задана формулой (7.5). Таким образом, точная орбита включает в себя точки

или, что равносильно,

Заметим, что для любого индекса оба значения вычисляются с использованием откуда

Пусть k — положительное целое. Тогда

где есть диаметр Е. Поэтому

и

На следующем уровне

Продолжая в таком же духе, получаем, что для любого

Заменяя на , получаем

Устремляя к получаем требуемое неравенство.