Глава 1. Введение

1.1. Что такое фракталы и хаос?

Когда-то большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями. К примеру, что может быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей солнечной системе движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам? Этот замечательный закон — один из трех постулатов планетарного движения, сформулированных Иоганном Кеплером на основе наблюдений и измерений, сделанных Тихо Браге. Позднее, сэр Исаак Ньютон вывел закон обратных квадратов для гравитационного притяжения как решение некоторого дифференциального уравнения, причем законы Кеплера следовали из его решения. Как в этом, так и в других случаях, когда применение простых геометрических моделей оказалось удачным, это привело к огромным научным достижениям.

Однако многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной.

Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных систем. Как подступиться к моделированию каскадных водопадов или турбулентных процессов, определяющих погоду?

Какая математика отвечает за ритмы сердца и головного мозга, наблюдаемые на электрокардиограмме и энцефалограмме, в особенности за те внезапные приступы аритмии, которые могут вызвать сбой в работе сердца? Можно ли математически описать внезапное возникновение волны паники на финансовых рынках или даже построить математическую модель социального поведения?

Фракталы и математический хаос — подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Термин фрактал относится к некоторой статичной геометрической конфигурации, такой как мгновенный снимок водопада. Хаос — термин динамики, используемый для описания явлений, подобных турбулентному поведению погоды. Данная книга является введением в математику, которая стоит за этими понятиями. Предполагается, что после освоения изложенных здесь методов читатель сможет перейти к изучению приложений по специализированным источникам.

Например, исследования показывают, что в физиологии встречается как «хороший» хаос, так и «плохой» [17, с. 273-300]. В опытах на кошках было замечено, что вид электрокардиограммы, снятой до и после введения кокаина, меняется с регулярной последовательности высоких пиков, сопровождаемых малыми пичками, на крайне нерегулярную последовательность, что, возможно, свидетельствует о приступе аритмии. С другой стороны, характер электроэнцефалограммы меняется с нерегулярного и непредсказуемого на гораздо более гладкий [19, с. 26-27]. См. также [18] об анализе возможной роли хаоса в развитии болезни сердца.

Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и то же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т. д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды — вы снова увидите горы. Приблизьте картинку еще — вы по-прежнему будете различать нечто, напоминающее горы, благодаря вашей способности (статистической по сути) различать тип объекта на рисунке. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия (п. 2.1 и 5.1).

Во многих работах по фракталам самоподобие используется в качестве определяющего свойства. Следуя Бенуа Мандельброту [31], мы принимаем точку зрения, согласно которой фракталы должны определяться в терминах фрактальной (дробной) размерности (глава 5). Отсюда и происхождение слова фрактал. Понятие дробной размерности представляет собой весьма сложную концепцию, которую мы изложим в несколько этапов. Прямая — это одномерный объект, а плоскость — двумерный. Как мы увидим далее, хорошенько перекрутив прямую или плоскость, можно повысить размерность полученной конфигурации; при этом новая размерность обычно будет дробной в некотором смысле, который нам предстоит уточнить. Связь дробной размерности и самоподобия состоит в том, что с помощью самоподобия можно сконструировать множество дробной размерности наиболее простым образом (п. 2.1). Даже в случае гораздо более сложных фракталов, таких, как граница множества Мандельброта (п. 8.3), когда чистое самоподобие отсутствует, имеется почти полное повторение базовой формы во все более и более уменьшенном виде.

В английском языке хаос обычно определяется как состояние полного беспорядка или неразберихи. Некоторые словари прибегают к понятию состояния, в котором правит случай. Термин хаос в математике используется в узком смысле.

Хотя универсального определения математического хаоса не существует, имеется, по-видимому, полное согласие в том, что любой вид хаоса обладает свойством непредсказуемости. Это свойство называют существенной зависимостью от начальных условий (п. 6.5). Как ни странно, оно не эквивалентно случайному поведению. По сути дела, математический хаос — это характерная черта именно детерминированных динамических систем. Поэтому наблюдаемые в состоянии хаоса флуктуации только кажутся случайными — их значения полностью предопределены входными параметрами. Но на практике мы никогда не располагаем абсолютно точной информацией о начальных условиях. Ошибки, пусть и ничтожные, всегда имеют место при измерении входных параметров. То, что кажется нам случайным результатом на выходе динамической системы, обусловлено большими ошибками, которые могут появиться, когда система ведет себя хаотично.

Когда-то считалось, что в детерминированной системе, при наличии достаточного объема вычислительных ресурсов, мы всегда в состоянии сделать значимое предсказание (например, дать надежный прогноз погоды), несмотря на маленькие ошибки измерения текущего состояния. В присутствии хаоса это не так.

Никакой самый мощный компьютер не позволит нам сделать точный прогноз на основе математической системы с существенной зависимостью от начальных условий.

С нашей точки зрения, наиболее интересный вопрос теории фракталов и хаоса состоит в том, как связать эти понятия воедино. Многие важные фракталы, включая снежинку Коха, ковер Серпинского и классическое множество Кантора, обсуждаемые во второй главе, могут быть получены как аттракторы систем итерированных функций (глава 4). Анализ этих систем итерированных функций указывает путь к построению хаотических операторов, ассоциированных с упомянутыми фракталами (глава 7).