Упражнения 3.2.

1. Показать, что манхэттенское расстояние:

определяет метрику.

2. Графически отобразить на экране компьютера единичные шары с центром в начале координат, используя -метрику, для

3. Показать, что -метрики в , где эквивалентны друг другу. Указание: доказать следующие неравенства с использованием неравенства Коши-Шварца.

4. Показать, что метрика не эквивалентна евклидовой метрике в

5. Введем в новую систему координат:

Определим новое расстояние в по формуле , где d — евклидово расстояние.

а) Показать, что определяет метрику в . б) Эквивалентны ли метрики

6. Пусть — возрастающая функция, то есть из всегда следует Предположим также, что существует постоянная такая, что для всех Определим метрику

а) Показать, что . Указать дополнительное условие, которому должна удовлетворять функция чтобы была эквивалентна евклидовой метрике независимо от выбора

7. Найти все кратчайшие пути от точки (1,1) до прямой с манхэттенской метрикой. Замечание: длина пути в произвольном метрическом пространстве (X, d) определяется как

причем точная верхняя грань берется по всем разбиениям пути

8. Доказать эквивалентность двух определений непрерывности: в терминах терминах сходящихся последовательностей (см. формулу (3.7)).