7.4. Подъем

Хаос: не полностью несвязный случай.

В предыдущем параграфе мы показали, как вполне несвязная СИФ индуцирует хаотическую функцию на своем аттракторе. В этом параграфе будет рассмотрен случай, когда СИФ не является вполне несвязной. Основной результат заключается в том, что такая СИФ может быть поднята в высшую размерность, где она будет уже вполне несвязной, а получающийся аттрактор и динамическая система проектируются назад в пространство меньшей размерности.

Не полностью несвязный случай может быть реализован двумя способами. Первый из них называется случаем чистого касанья, а второй называется случаем наложения.

Пример 1. Пример СИФ с чистым касанием выглядит следующим образом:

Аттрактором в этом случае служит интервал [0,1]. Термин чистое касание происходит из-за того, что

Так как , то невозможно определить единственное значение для которое бы давало

как это было сделано в формуле (7.9).

Таким образом, мы не можем сконструировать функцию (3, которая бы делала диаграмму (7.7) коммутативной. Или, что эквивалентно, функция , определенная формулой (7.5), не является взаимно однозначной.

Тем не менее, можно произвольно выбрать или в результате чего функция (3 будет вести себя хаотически на аттракторе (см. упр. 1 в конце данного параграфа).

Пример 2. Пример наложения дается СИФ следующего вида

Аттрактором в этом случае также служит интервал [0,1]. Термин наложение происходит из-за того, что

В этом примере целый интервал препятствует такому определению которое позволило бы сделать диаграмму (7.7) коммутативной. Как и в примере 1, функция определенная формулой (7.5), не является взаимно однозначной.