7.3. Хаос и фракталы

В этом параграфе мы покажем, что итерированная система функций при определенных условиях индуцирует хаотическое отображение на своем аттракторе. Эта теория основывается на переносе известного хаотического поведения обратного сдвига, действующего на символьном пространстве, на индуцированное отображение, действующее на аттракторе.

Детали наиболее просто воспринимаются в том случае, когда аттрактор вполне несвязен, то есть является канторовым множеством.

Рассмотрим итерированную систему функций, состоящую из полного метрического пространства X и сжимающих отображений действующих на X. Будем предполагать, что коэффициенты сжатия равны соответственно, и что По теореме 4.1.2 (Хатчинсона), итерированная система функций

сходится к единственному компактному аттрактору Е.

Мы связываем с этой системой итерированных функций символьное пространство на N элементах, описанное в п. 7.2. В первую очередь рассмотрим отображение множества на аттрактор Е.

Теорема 7.3.8. Пусть . Для каждого предел

существует и его значение не зависит от выбора . Функция отображает на аттрактор Е.

Доказательство. Пусть Т — оператор Хатчинсона (см. (4.1)):

где А — любое компактное подмножество X. Выберем и обозначим через множество, состоящее из единственной точки Определим

Из теоремы 4.3.3 следует, что множество можно рассматривать как аттрактор СИФ со сгущением, причем множеством сгущения является множество Роль в данном случае заключается в том, чтобы заменить возможно некомпактное множество X на компактное множество, на котором действуют как СИФ.

Отметим, что является инвариантным множеством для каждого и что основной аттрактор Е является подмножеством Для любых положительных целых

где есть диаметр . Это следует из повторного применения неравенств сжатия

Неравенство (7.6) справедливо для любого , а значит последовательность удовлетворяет критерию Коши (см. прил. А.1) сходимости в полном метрическом пространстве то есть при заданном существует целое такое, что если то

Таким образом, сходимость к пределу в выражении (7.5) доказана. То, что этот предел принадлежит аттрактору Е, следует из теоремы Хатчинсона. Для доказательства независимости этого обстоятельства от выбора положим, что — две начальные точки из X. Будем теперь рассматривать множество как множество сгущения, а через С обозначим результирующий аттрактор СИФ со сгущением. Рассуждая как и выше, получаем

Правая часть стремится к нулю при к . Из этого следует . Так . Так .

Осталось показать, что Ф отображает на . Пусть . Так как

то существуют такие, что

Аналогично, существуют индексы и точки в Е, для которых

так что

Для каждого получаем

откуда следует, что если , то

Теорема 7.3.9. Отображение , определенное формулой (7.5), непрерывно.

Доказательство. Пусть и пусть дано Найдем такое, что если то

Пусть . Если для некоторого

то должно иметь место равенство к (упр. 7 из п. 7.2). Более того, из неравенства (7.6) следует

Найдем к из условия а выберем таким, чтобы выполнялось неравенство

Пример. В качестве простейшего примера отображения на аттрактор рассмотрим СИФ, определенную преобразованиями:

Аттрактором Е для такой СИФ служит классическое канторово множество, рассмотренное в п. 2.3. Напомним, что каждая точка имеет единственное представление:

цифрами в котором служат только 0 и 2. Из (7.5) следует, что существуют такие точки в X, что

Таким образом, принадлежит области значений отображает [0,1] в отображает [0,1] в Таким же образом, отображают [0,1] в соответственно. Эта процедура повторяется, и очевидно, что первые к троичных цифр точки из области значений . Так равны

Так как это справедливо при к для всех то это выполняется для всех Таким образом, троичные коэффициенты точки те же, что и символы в формуле (7.5), и отличаются только тем, что символы, равные 1, становятся 0 в троичном представлении. Символы, равные 2, остаются без измененений и в троичном представлении.

Например, если

то

Хаос: полностью несвязный случай.

Продолжая предыдущий пример, вспомним, что сдвиг В (п. 7.2), действующий на символьном пространстве , образованном символами 1 и 2, обладает хаотическим поведением. Отметим также, что действие В на соответствует в точности оператору , определенному как

Оператор был обозначен как В в теореме 6.5.5, но здесь переименован в для того, чтобы отличить его от текущего использования В в качестве обратного сдвига на символьном пространстве.

Таким образом,

и диаграмма

коммутативна. Как следует из теоремы о топологической сопряженности, доказанной в п. 7.2, оператор действующий на канторовом множестве, хаотичен, что впервые было доказано в теореме 6.5.5.

Приведенный пример служит прототипом для целого класса систем итерированных функций, обладающих аттракторами, на которых можно определить хаотический оператор сдвига. Такой класс называется вполне несвязные СИФ.

Вполне несвязные СИФ.

СИФ, определенная взаимно однозначными сжатиями и имеющая аттрактор Е, является вполне несвязной, если выполняется условие:

Как легко заметить, если СИФ вполне несвязна, то и аттрактор Е есть вполне несвязное множество (упр. 1 в конце параграфа).

Теорема 7.3.10. Если СИФ, определенная взаимно однозначными сжатиями и обладающая аттрактором Е, является вполне несвязной, то отображение Ф, определенное формулой (7.5), взаимно однозначное.

Доказательство. Рассмотрим из . Пусть k — наименьший индекс , для которого . Пусть Тогда Более того,

и

Но множества в правой части не имеют общих точек, так как для и каждое отображает непересекающиеся множества на непересекающиеся множества. Таким образом,

На основании теоремы 7.3.10 можно определить функцию , которая делает диаграмму (7.7) коммутативной. (Выше в диаграмме (7.7) соотносилась только со случаем классического множества Кантора.) Определение таково:

Это определение не очень информативно. Конечно, его достаточно для того, чтобы представить, что действует на точках Е точно так же, как обратный сдвиг действует на символьном пространстве Е. Оказывается, можно задать функцию в терминах отображений и аттрактора Е.

Теорема 7.3.11. Для каждого значение определяется следующим образом:

где — единственный индекс, для которого

Доказательство этой теоремы оставлено в качестве упражнения (упр. 2 ниже).

Приведенная ниже теорема обобщает факты, связанные с полностью несвязным случаем.

Теорема 7.3.12. Положим, что взаимно однозначные сжимающие отображения определяют вполне несвязную СИФ, имеющую аттрактор Е. Пусть — символьное пространство, определенное на N символах. Отображение Ф, определенное формулой (7.5), есть взаимно однозначное отображение на Е. Индуцированное отображение определенное формулой (7.8) или (7.9), делает диаграмму (7.7) коммутативной, и таким образом становится топологически сопряженным по отношению к . В результате получаем, что есть хаотическая функция на аттракторе Е.