Упражнения 9.4.

1. Докажите следующее утверждение, используемое при доказательстве теоремы 9.4.4. Выражение

отрицательно при равно нулю для и положительно при если

2. а) Восстановите недостающие детали в доказательстве, что для одномерного ФБД с параметром Н размерность реализации равна

б) Докажите, что для двумерного ФБД с параметром Н размерность поверхности равна

3. Убедитесь в справедливости формулы (9.10), выражающей свойство статистического самоподобия.

4. Пусть — независимые ФБД с параметрами причем Докажите, что путь на плоскости, заданный как имеет фрактальную размерность (почти наверное).

5. Докажите, что если — одномерное ФБД с параметром и если , то удовлетворяет (почти наверное) условию равномерности Гельдера:

6. Пусть — ФБД с параметром Определим усредненную константу Гельдера для данного приращения как

Покажите, что существует такая константа С, не зависящая от

Указание. Используйте формулу:

Сделайте подстановку

Комментарий: отметим, что для очень малых значений параметр Н может быть приближенно заменен на а, и поэтому размерность реализации в этом случае равна d и .