Упражнения 2.1.

1. Определить дробную размерность (размерность подобия) фракталов, которые строятся, как указано на рис. 2.7.

2. Определить дробную размерность (размерность подобия) фракталов, которые строятся, как указано на рис. 2.8.

3. Построить фрактал, отличный от фрактала на рис. 2.8(a), но той же размерности.

4. Показать, что сумма площадей треугольников, выкинутых при построении ковра Серпинского, равняется площади исходного треугольника. Указание: воспользоваться соотношением:

5. Рассмотрим фрактал, который строится, как указано на рис. 2.9. Этот фрактал иногда называют пылью Серпинского. Записать бесконечный ряд для суммы площадей частей, которые были удалены при построении. Найти сумму этого ряда.

6. (Компьютерный эксперимент.) Исследовать, какая связь существует между треугольником Паскаля (состоящим из биномиальных коэффициентов) и ковром Серпинского(см. [36]).

Рис. 2.6. Построение губки Менгера

Рис. 2.7. Построения к упр. 1

Рис. 2.8. Построения к упр. 2

Рис. 2.9. Построения к упр. 5