Упражнения 7.2.

1. Докажите, что символьное пространство есть метрическое пространство.

2. Докажите, что если принадлежат символьному пространству определенному на N элементах и если для , то Докажите, что если то для

3. Докажите, что символьное пространство на двух элементах метрически эквивалентно классическому канторову множеству С. Используйте для этого теорему 7.2.2.

4. Покажите, что оператор обратного сдвига

непрерывен.

5. Убедитесь в верности утверждения, содержащегося в доказательстве теоремы 7.2.2:

при заданных

6. Пусть Положим

а) Найдите

б) Найдите

в) Что можно сказать о если — граничная точка какого-либо интервала или ?

г) Что можно сказать о если а — повторяющаяся последовательность цифр?

д) Перечислите все точки периода 4 (не ниже) оператора В на Е. Сколько точек периода 4 существует у функции на

е) Используя определите особую точку в ; (1) не являющуюся граничной точкой любого из интервалов или непериодическую (даже после нескольких итераций); (3) периодическую с периодом 7.

ж) Для любой заданной точки , определите точку с «противоположной орбитой», такую, что на каждой итерации имеют противоположные знаки.

з) Для произвольной точки , определите последовательность точек, которая сходится к так что каждая точка в последовательности имеет орбиту, которая в конечном итоге (после нескольких итераций) является «противоположной» по отношению к как описано в пункте (эта задача предложена Ричардом Нейдингером).

7. Пусть при и пусть

Покажите, что отображение Q топологически сопряжено по отношению к Г на [0,1] при помощи (В первую очередь покажите, что Н есть гомеоморфизм [0,1] на )

8. (Продолжение упр. 7.) Найдите орбиту периода 3, показав, что является -циклом для и используя сопряженность двух отображений.

9. (Продолжение упр. 7.) Найдите орбиты периода 4 и 5.

10. Пусть Покажите, что если , то и Q топологически сопряжены посредством отображения Н.