Б.2. Фракталы Пуанкаре

Рассмотрим раздел фрактальной геометрии, который имеет дело с голоморфными динамическими системами специального вида, а именно с рациональными отображениями. Рациональное отображение является голоморфной динамической системой на сфере Римана Каждое такое отображение может быть записано в виде отношения

двух взаимно простых полиномов Р и Q. Степень отображения может определяться топологически или алгебраически; это число прообразов типичной точки z, или же максимальная степень Основной задачей в динамике рациональных отображений является изучение поведения итераций

Любое рациональное отображение степени d > 1 (именно такие отображения рассматривали Фату и Жюлиа) обладает свойствами как растяжения, так и сжатия. Например, должно быть растягивающим в среднем, так как оно отображает сферу Римана на себя d раз.

Разумеется, по отношению к сферической метрике (нормализованной так, чтобы общая площадь равнялась единице),

так что производная от имеет в среднем очень большую величину. С другой стороны, обладает критическими точками с, в которых В окрестности с поведение подобно в окрестности нуля при некотором то есть — сильно сжимающее около с. Эти два обстоятельства и отвечают за сложность динамики рациональных отображений.

Чтобы описать эти свойства используется множество Жюлиа — область хаотической динамики и посткритическое множество которое содержит «аттракторы» Множество Жюлиа может быть определено как замыкание множества отталкивающих периодических точек Точка z является периодической, если при некотором она является:

отталкивающей, если

нейтральной, если

притягивающей, если

Прямая орбита (то есть траектория точки 2 при итерациях в прямом направлении) периодической точки называется циклом, так как является циклической перестановкой.

Множество Жюлиа, кроме того, является наименьшим замкнутым подмножеством сферы таким, что Его дополнение называется множеством Фату и является наибольшим открытым множеством таким, что итерации образуют нормальное семейство [79]. Посткритическое множество является замыканием прямых орбит критических точек (см. п. 1).

Посткритическое множество играет решающую роль по отношению к аттракторам что видно из следующей теоремы.

Теорема Каждый притягивающий цикл А притягивает критическую точку с.

Доказательство. Пусть в сферической метрике; U открыта и

Если U не содержит ни одной критической точки, то есть отображение накрытия, но тогда по лемме Шварца будет изометрией для гиперболической метрики, что невозможно, так как А — притягивающий цикл.

Таким образом, и число притягивающих циклов ограничено числом критических точек, которое в свою очередь не превосходит

Эта теорема имеет как практическое, так и теоретическое значение. Например, если имеет притягивающий цикл периода 100, то этот цикл легко можно представить в виде — несколько миллионов итераций дадут достаточную точность. (Сравните этот объем вычислений с перспективой вычисления корней уравнения )

Существует несколько хороших обзоров по рациональным отображениям сферы Римана, написанных в середине 80-х [80, 81], и ряд более современных обзоров [82, 83]. Так же, как и в случае ренормализации, современная теория фрактальной геометрии оформилась после публикации Денниса Сулливана [81], в которой было установлено соответствие между гиперболическими рациональными отображениями и клейновыми группами.

Отображение является гиперболическим, если выполняются условия следующей теоремы.

Теорема Следующие условия эквивалентны.

(1) Все критические точки при итерациях стремятся к притягивающим циклам.

(2) Отображение f является растягивающим на своем множестве Жюлиа. Это означает, что на сфере существует конформная метрика такая, что для всех

(3) Посткритическое множество и множество Жюлиа имеют нулевое пересечение

Что касается интересующих нас фракталов Пуанкаре, то они являются полугиперболическими, то есть нарушается условие (3) вышеприведенной теоремы, и соответствуют они фуксовым группам.

До 1998 года фракталы Пуанкаре не встречались в математической литературе как самостоятельные обьекты, заслуживающие тщательного рассмотрения. Они появлялись в неявном виде под названием -гипотезы в следующем виде.

Гипотеза. Рациональное отображение f не допускает существования инвариантного линейного поля Invariant Linear Field) на своем множестве Жюлиа, за исключением того случая, когда f накрывается интегральным эндоморфизмом тора. Эта гипотеза была необходима для доказательства следующей теоремы Мане-Сада-Сулливана.

Теорема Б.2.6. (гиперболическая плотность рациональных отображений).

Привлекательность -гипотезы заключается в том, что она смещает акцент исследования семейства всех рациональных отображений на эргодическую теорию единственного рационального отображения. Следует, однако, заметить, что эта гипотеза ничего не говорит о полугиперболических рациональных отображениях, то есть о фракталах Пуанкаре.

Инвариантное линейное поле для определенное на измеримом множестве , представляет собой одномерное вещественное подпространство в касательном пространстве для всех таких, что:

(1) Е обладает положительной площадью;

(2)

(3) наклон изменяется измеримо по отношению к

(4) производная f отображает Для всех 2, принадлежащих Е.

Напомним, что линейное поле (или поле линейных элементов) — это локальный неориентированный вариант векторного поля, нигде не обращающегося в нуль. Если то говорят, что отображение допускает инвариантное линейное поле на его множестве Жюлиа. Таким образом, множество Жюлиа должно обладать положительной мерой для того, чтобы служить носителем инвариантного линейного поля.

Совсем недавно МакМюллен [85] дал определение геометрически конечного рационального отображения.

Рациональное отображение является геометрически конечным, если или, что равносильно, если каждая критическая точка в множестве Жюлиа является предпериодической. Это условие исключает из рассмотрения диски Зигеля и кольца Эрмана, но допускает параболические циклы.

Если геометрически конечно, то или размерность Хаусдорфа множества Жюлиа меньше 2. Из сказанного следует, что фракталы Пуанкаре в широком смысле слова могут быть определены как множества Пуанкаре-Жюлиа, получаемые в результате итерирования геометрически конечных

Фракталы Пуанкаре в узком смысле представляют собой множества Пуанкаре-Жюлиа, получаемые в результате итерирования рациональной функции Пуанкаре

Эта функция легко может быть получена из теоремы сложения для p-функции Вейерштрасса [86]. Именно итерации этой функции при впервые рассматривались Латте [87]. На рис. Б.1 приведен фрактал Пуанкаре-Жюлиа, полученный итерацией по z функции при указанных значениях параметров (пример Латте). На рис. Б.2, Б.3 и Б.4 приведены изображения фракталов Пуанкаре для значений параметров: (лемнискатный случай), (квазилемнискатный случай) и (квазиэвиангармонический случай).

Хотя пример Латте был известен уже давно и часто приводился в формулировке -гипотезы, исследование функции Пуанкаре в современном понимании фрактальной геометрии началось с работы Эрмана [84]. Очевидно, что функция Пуанкаре геометрически конечна (полугиперболична), то есть:

а) пересечение множества Жюлиа с посткритическим множеством непусто;

б) множество Жюлиа равно всей сфере Римана;

в) размерность Хаусдорфа множества Жюлиа меньше 2.

Фракталы Пуанкаре-Мандельброта получаются в результате итерирования функции Пуанкаре по параметрам при постоянном значении . На рис. Б.5 изображен фрактал Пуанкаре-Мандельброта при .

Характерным свойством фракталов Пуанкаре является то, что множество критических точек С содержит 6 точек, из которых три отталкивающие и три притягивающие, причем при каждой итерации они меняют свой характер на противоположный. Исследование фракталов Пуанкаре представляется заслуживающим внимания по двум причинам.

Рис. Б.1. Пример Латте,

Во-первых, функция Пуанкаре описывает двухпараметрическое аналитическое семейство и, следовательно, позволяет исследовать -универсальность в отличие от -универсальности Фейгенбаума. Сценарий удвоения периодов -функции Вейерштрасса позволяет поставить вопрос о нахождении оператора ренормализации в этом случае, а также в более широком контексте для конечногеометрических рациональных отображений.

Во-вторых, итерации функции Пуанкаре описывают динамику инволютивных псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей Клейна-Пуаыкаре. Неклассические поверхности Клейна — это поверхности с краем и со сменой ориентации [88]. Поэтому интересно связать топологическое описание поверхностей Клейна-Пуанкаре со свойствами симметрии функции Пуанкаре.

Рис. Б.2. Лемнискатный случай

Если в первом направлении можно пока сделать только общие утверждения, что в случае -универсальности основными инструментами исследования служат однолистные функции (вместо унимодальных в случае 1-универсальности), квадратичные дифференциалы и пространства Тейхмюллера поверхностей Клейна-Пуанкаре (отрицательность шварциана и в случае 2-универсальности по-прежнему играет важную роль), то по второму направлению можно сказать много больше.

Исследование свойств симметрии функции Пуанкаре было начато в [89]. На рис. Б.6 приведен начальный этап построения односторонней поверхности, основанный на принципе симметрии Шварца. Этот рисунок очень напоминает рисунки Морица Эшера, но на самом деле представляет собой компактное (точнее компактифицированное) многообразие неотрицательной кривизны, соответствующее поверхностям Клейна-Пуанкаре.

Рис. Б.3. Квазилемнискатный случай

Естественно задать вопрос: какой вид имеет фундаментальная группа этого многообразия? Оказывается, что это группа классов отображений с антиголоморфной инволюцией или модулярная группа поверхности 5 Клейна-Пуанкаре, которую будем обозначать в дальнейшем . Хотя изучение подобных групп ведется уже давно, но новый всплеск интереса к ним связан с появлением работ Хэтчера-Терстона и Харера [90]. С этими же группами связаны недавние исследования Маскита и Мин Чена [91].

Группа является бесконечной конечнопредставимой группой фуксова типа. Вот как выглядит ее копредставление:

Рис. Б.4. Квазиэквиангармонический случай

Осуществляя стандартную процедуру подъема с учетом антиголоморфной инволюции, получаем следующее представление нетривиальных пар образующих этой группы в виде дробно-линейных подстановок:

Существует еще топологически тривиальная пара z и —z. Под антиголоморфной инволюцией в данном случае понимается переход от 2 к —z. В результате компьютерной проверки на системе Maple было подтверждено, что при дробно-линейных подстановках аргумента 2 в указанных выше степенях функция Пуанкаре оставалась неизменной. Таким образом, функция Пуанкаре является инволютивно-модулярной автоморфной функцией относительно действия группы Группа является полугиперболической и «непричесываемой» (по выражению Уильяма Терстона).

Рис. Б.5. Фрактал Пуанкаре-Мандельброта, z = 1

Группе соответствует так называемый комплекс.

Пространство деформаций группы собственно и представляет собой пространство Тейхмюллера поверхностей Клейна-Пуанкаре Оно накрывает пространство Клейна-Пуанкаре. В таком виде мы сталкиваемся с так называемой проблемой модулей, исследование которой начал Бернгард Риман в 1857 г.

Пространство модулей для группы и пространство Тейхмюллера представляют собой некомпактные полугиперболические многообразия, которые допускают компактификацию и сводятся к компактным полугиперболическим многообразиям и в итоге к комплексу, который назовем комплексом типа Хэтчера-Терстона-Харера.

Рис. Б.6. «Рисунок Морица Эшера»

С чисто математической точки зрения надо указать явную формулу для кэлеровой формы Вейля-Петерсона [90] на и доказать теорему о конечности объема Вейля-Петерсона пространства модулей проколотых инволютивных симметризованных бутылок Клейна.

С топологической точки зрения фракталы Пуанкаре являются вещественно-аналитическими уэйвлетами. Это следует из совместного использования системы образующих в качестве составляющих СИФ и теоремы Хатчинсона [92].