3.5. Метрика Хаусдорфа I

Одним из основных математических аспектов теории фракталов является вопрос о сходимости некоторой последовательности множеств к фракталу. К примеру, для того чтобы построить ковер Серпинского, мы начинаем с замкнутой треугольной области и, выкидывая на каждом шаге внутренние треугольники, получаем аппроксимирующие множества. Кажется вполне правдоподобным (см. рис. 2.5), что предельное множество в действительности является фракталом.

Наша первая задача — разобраться с понятием предела последовательности множеств. Для этого необходимо определить подходящую метрику на интересующих нас множествах. Метрика, которой мы будем пользоваться, называется метрикой Хаусдорфа.

Метрика Хаусдорфа определяется на множестве всех непустых компактных подмножеств пространства . Таким образом, «точки» суть компакты. «Точками» могут быть фигуры, изображенные на рис. 2.5, или даже само предельное множество (ковер Серпинского).

Требование компактности не ограничивает применимости дальнейших результатов, так как в наших построениях мы всегда будем использовать только компактные множества; более того, оказывается, что и предельные множества — фракталы — всегда компактны.

Обозначим через Е и F два непустых компактных подмножества . Хаусдорфово расстояние между Е и F можно задать несколькими способами. В этом параграфе мы придерживаемся интуитивного определения. Вопрос о том, является ли расстояние Хаусдорфа метрикой, вынесен в прил. А.3, в котором дается другое определение и доказывается, что расстояние Хаусдорфа действительно обладает всеми свойствами метрики. Там же доказывается эквивалентность двух определений.

Для произвольного множества Е из пространства и радиуса дилатацией Е радиуса (обозначается ), называется векторная сумма (рис. 3.2). Здесь — замкнутый шар радиуса с центром в начале координат. Формально:

Замечание: в некоторых источниках дилатация определяется с использованием открытого шара, в то время как мы используем замкнутый шар. Наш выбор обусловлен тем, что в случае замкнутого шара доказательства теорем из прил. несколько упрощаются.

Определение. Пусть Е и F — непустые компактные подмножества Расстояние Хаусдорфа между Е и

Пример. Пусть А и В — эллипсы (рис. 3.13):

Видно, что наименьшее , при котором , составляет Поэтому

Доказательство следующей теоремы вынесено в прил. А.3.

Рис. 3.13. Определение расстояния Хаусдорфа через дилатации

Теорема 3.5.8. Пусть — компактные множества. Для того чтобы в метрике Хаусдорфа, необходимо и достаточно, чтобы для каждого нашелся такой номер N, что из следует .

Следствие 3.5.1. Пусть — последовательность компактных множеств, вложенных друг в друга:

Введем

Тогда Е — непустой компакт, и последовательность множеств сходится к хаусдорфовой метрике:

Это следствие непосредственно применимо к фракталам, при построении которых последовательно удаляются открытые подмножества. Примерами могут служить классическое множество Кантора (рис. 2.20) и ковер Серпинского (рис. 2.5). И в том, и в другом случае аппроксимирующие множества сходятся к соответствующим фракталам в метрике Хаусдорфа.