Научная библиотека

9.4. Фрактальное броуновское движение

Классическое броуновское движение, рассмотренное выше, представляет собой хорошую модель марковских случайных фракталов, для которых условная вероятность того, что достигнет определенного значения при заданном зависит только от , а не от поведения при

Рис. 9.9. Реализации ФБД:

Ясно, что существует необходимость введения такого случайного процесса, который обладал бы некоторой памятью. Такой процесс получил название фрактального броуновского движения (ФБД) и был исследован Мандельбротом и Ван Нессом в 1968 году [33]. Как отмечается в [33], ФБД в неявном виде рассматривалось еще Колмогоровым в 1940 году [27].

Для аппроксимации фрактального броуновского движения нет простого метода, вроде суммирования гауссовских случайных величин, как в случае классического броуновского движения. С математической точки зрения наиболее логичным представляется использование аппарата Фурье. Этот подход будет описан в п. 9.6. Многие исследователи и в этом случае использовали метод срединного смещения, но при этом не получается настоящее ФБД. Такой подход и его недостатки рассматриваются в п. 9.5.

Фрактальное броуновское движение удобно определить при помощи параметра . При фрактальное броуновское движение совпадает с классическим.

Как будет показано ниже, реализация одномерного ФБД с параметром Н имеет размерность Графическим изображением двумерного ФБД является поверхность, имеющая размерность Таким образом, параметр Н соответствует степени изрезанности графика. Как видно из рис. 9.9, при малых Н и О график получается сильно изрезанным, а при больших Я и 1 — весьма плавным (хотя и не гладким).

Существование ФБД доказано Мандельбротом и Ван Нессом [33] с использованием стохастических интегралов. Как и в случае классического броуновского движения, мы дадим определение, основанное на нескольких аксиомах, которые характеризуют процесс. Большинство из приведенных утверждений относятся к одномерному случаю, хотя имеют аналоги для ФБД в высших размерностях.

Определение. Гауссовский процесс называется фрактальным броуновским движением с параметром если он обладает следующими свойствами.

1. и функция почти всегда непрерывна.

2. Свойство гауссовости приращений: случайная величина

имеет гауссовское распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией где а — положительная константа, то есть

Фрактальное броуновское движение с параметром совпадает с классическим броуновским движением.

Закон дисперсии и стационарность.

Из второго свойства следует закон дисперсии для фрактального броуновского движения:

для любых в интервале Так как дисперсия зависит только от разности от самих значений, то приращения стационарны.

Зависимость приращений.

В отличие от классического броуновского движения, приращения которого независимы, фрактальное броуновское движение с параметром не обладает этим свойством.

Теорема 9.4.4. Пусть — фрактальное броуновское движение с параметром Приращения независимы тогда и только тогда, когда

Доказательство. Если имеет независимые приращения, то случайные величины независимы. Это означает, что

Так как

и следовательно, по закону дисперсии (9.8):

Последнее выражение отрицательно при равно нулю при и положительно при (см. упр. 1 в конце параграфа). Утверждение доказано.

Немарковское свойство.

Из вычислений, приведенных при доказательстве теоремы 9.4.4, можно извлечь большее. Если , то скорее всего, имеют одинаковые знаки и функция обычно возрастает в будущем, если она возрастала в прошлом. Если же то скорее всего, имеют различные знаки, а значит функция обычно убывает в будущем, если она возрастала в прошлом. Вместе эти факты говорят о том, что фрактальное броуновское движение не является марковским процессом, за исключением случая

Величина приращений.

Пусть — фрактальное броуновское движение с параметром Тогда математическое ожидание приращения равно

Доказательство этого утверждения полностью аналогично доказательству теоремы 9.2.1, в которой рассматривается специальный случай

Недифференцируемость.

Как и в случае классического броуновского движения, следует ожидать, что фрактальное броуновское движение почти наверное недифференцируемо. Доказательство проводится аналогично доказательству для классического случая. Как было отмечено в п. 9.2, Мандельброт и Ван Несс дали полное доказательство этого утверждения в [33].

Статистическое самоподобие.

Теорема 9.4.5. Приращения фрактального броуновского движения обладают свойством статистического самоподобия, то есть

для любого

Доказательство. Доказательство полностью аналогично соответствующему доказательству для классического броуновского движения с заменой на (см. упр. 3 в конце параграфа).

Размерность реализации.

Фрактальная размерность реализации одномерного броуновского движения вычисляется так же, как и для классического броуновского движения. Основное отличие состоит в том, что оценка числа квадратов (9.5) заменяется новой оценкой

что приводит к значению

Подробные вычисления оставлены читателю в качестве упражнения (упр. 2 в конце параграфа).

Определение размерности большинства фрактальных кривых обычно сопряжено с большими вычислительными затратами. Тем не менее, не составляет труда вычислить размерность графика реализации ФБД. Параметр Н можно найти из закона дисперсии (9.8). Извлекая квадратные корни и затем логарифмируя обе части (9.8), получаем

где — стандартное среднеквадратичное отклонение приращений АХ, соответствующих интервалу — константа. Алгоритм 9.4.2 вычисляет для нескольких величин интервалов и затем использует алгоритм 5.2.1 для определения параметров с и Н в (9.11).

Алгоритм 9.4.2. (HCALC)

Назначение: вычисляет параметр Н одномерного ФБД.

Внешние функции:

функция STD вычисления среднеквадратичного отклонения; функция вычисления МНК-прямой (алгоритм 5.2.1).

Вход:

Выход:

Н (параметр ФБД)

Инициализация:

Шаги:

Найти МНК-прямую по точкам угловой коэффициент МНК-прямой

Рис. 9.10. Цены на акции компании Боинг

В качестве примера использования алгоритма 9.4.2 для анализа практической задачи рассмотрим график заключительных цен на акции компании Боинг для 336 последовательных биржевых дней 1992-1993 года (рис. 9.10). Соседние точки на графике соединены отрезками прямых. Мы исследуем эту реализацию с целью установить, насколько хорошо она может быть смоделирована при помощи ФБД.

Обозначим через биржевую цену в конце t биржевых сессий. На рис. 9.11 построены нормализованная гистограмма для приращений (дневных флуктуаций) и гауссовская кривая с таким же среднеквадратичным отклонением. Этот график в некоторой степени подтверждает, что удовлетворяет свойству гауссовости приращений (свойство 2) в определении ФБД. Строго говоря, для проверки гауссовости приращений следует применить -критерий согласованности [10]. Найдем значение параметра Н с помощью алгоритма 9.4.2. На рис. 9.12 построена зависимость от Значение Н, полученное по этой прямой, равно Н и 0,5023, а значит фрактальная размерность d и 1,4977. Это довольно интересный результат, так как Н и 1/2, то есть ФБД близко к классическому броуновскому движению.

Рис. 9.11. Гистограмма и гауссовская кривая для приращений

Таким образом, можно сделать вывод, что заключительная цена в нашем примере совершает гауссовское случайное блуждание.

Фрактальные броуновские поверхности.

Рассмотрим теперь двумерное фрактальное броуновское движение.

Определение. Гауссовский процесс называется двумерным фрактальным броуновским движением с параметром , если он обладает следующими свойствами.

и функция почти всегда непрерывна.

2. Свойство гауссовости приращений: случайная величина

имеет гауссовское распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией , где - положительная константа, то есть

Рис. 9.12. Зависимость от

График двумерной броуновской поверхности имеет размерность Это доказывается аналогично одномерному случаю и оставлено в качестве упражнения (упр. 2 в конце параграфа). Как показано в [1], линии уровня имеют размерность

Пример броуновской поверхности, соответствующей ФБД с параметром Н = 1/2, изображен на рис. 9.6.

Изображения поверхностей, приведенные на рис. 9.13 и 9.14, иллюстрируют влияние параметра Н на ФБД. Меньшие значения Н соответствуют поверхностям, имеющим большую размерность, и поэтому они выглядят более изрезанными. Соответственно, при больших Н поверхности выглядят менее изрезанными. Поверхность ФБД с параметром обычно используется для моделировании горных массивов.

Рис. 9.13. Поверхность ФБД: