Упражнения 6.5.
1. Убедитесь, что периодические точки функции действующей на плотны в
2. Рассмотрим итерации тентообразного отображения (рис. 6.14). Убедитесь, что если для некоторого либо , либо , то орбита расходится .
3. Пусть
В пунктах основным методом является построение паутинных диаграмм.
а) Покажите, что если , то и если , то
б) Покажите, что если , то орбита расходится.
в) Покажите, что если или то орбита расходится.
г) Учитывая сказанное выше, что вы думаете о том, какой вид должно иметь множество ?
д) Покажите, что отображение Т ведет себя хаотически на множестве .
4. Найдите элемент аттрактора, изображенного на рис. 6.16, орбита которого при обратном сдвиге плотна в аттракторе.
5. (Математический и компьютерный проект.) Проведите исследование динамики итерирования функций с модулем. Сравните динамику для приведенных ниже случаев.
Мы благодарны Кэрол Ховальд, которая предложила и выполнила эти эксперименты.
6. (Компьютерный проект.) Выполните эксперименты по хаотическим отображениям и распределениям вероятностей (см. [34]).
7. Убедитесь в справедливости неравенства (1.8), возникающего при обсуждении транзитивности обратного сдвига на множестве Кантора.
8. Покажите, что если отображение обладает плотной орбитой для некоторой точки , то является транзитивным.