Упражнения 3.1.

1. Пусть . Показать, что:

Дать геометрическую трактовку этой формулы (свойство параллелограмма).

2. Доказать формулу скалярного произведения (уравнение 3.2):

3. Доказать формулы де Моргана:

4. Показать, что подмножество Е пространства есть открытое множество тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто.

5. Привести пример, опровергающий каждое из нижеследующих утверждений.

а) Если , где — непересекающиеся и непустые множества, то А есть несвязное (разрывное) множество.

б) Если F — замкнутое подмножество то F можно представить в виде объединения непересекающихся множеств, представляющих собой либо отрезки (замкнутые интервалы) либо изолированные точки в

в) Если G — открытое подмножество то его граница есть совершенное множество.

Использовать следующие множества в упр. 6-13.

е) классическое множество Кантора (рис. 2.20);

ж) ковер Серпинского (рис. 2-4).

6. Определить, является ли множество открытым, замкнутым или ни тем и ни другим.

7. Найти диаметр множества.

8. Является ли множество связным?

9. Является ли множество компактным?

10. Указать границу множества.

11. Является ли множество совершенным?

12. Пусть Изобразить векторную сумму (гомотетию) для каждого множества.

13. Является ли множество вполне разрывным?