7.2. Символическая динамика

Одним из основных способов доказательства наличия хаоса в дискретной динамической системе является использование символической динамики на некотором «символьном» пространстве. Понимание этого подхода является ключевым при рассмотрении других, более общих форм хаоса. Перед прочтением этого параграфа будет уместно еще раз просмотреть материал, относящийся к обратному сдвигу из п. 6.5.

Символьное пространство на элементах определяется как множество всех последовательностей

Если

и

то расстояние между ними определяется как

В соответствии с упр. 1 в конце данного параграфа символьное пространство является метрическим пространством.

Теорема 7.2.2. Символьное пространство на N элементах метрически эквивалентно канторову множеству и, следовательно, компактно, совершенно и вполне несвязно.

Доказательство. Пусть X — множество всех точек представленных в виде:

причем . То есть X представляет собой канторово множество типа «выброшенная цифра», как в п. 2.3. В данном случае X состоит из точек отрезка [0,1], записанных в системе счисления по основанию причем . В евклидовой метрике множество X компактно, совершенно и вполне несвязно.

Из метрической эквивалентности пространств с евклидовой метрикой немедленно следует, что компактно, совершенно и вполне несвязно, в силу стандартных топологических теорем (прил. А.2).

Точке

сопоставим последовательность

Подробнее, образ а (в символьном пространстве) точки мы получаем, отбрасывая десятичную точку в записи и рассматривая полученную последовательность как набор символов из

Очевидно, что функция отображает X на взаимно однозначно. Для того чтобы продемонстрировать метрическую эквивалентность, нам необходимо указать такие константы , что

Легче найти . Для из X, по неравенству треугольника, имеем:

Таким образом, можно положить .

Пусть — наименьшее значение индекса , для которого . Многократно применяя неравенство треугольника, получим

Так как (упр. 5 в конце параграфа), то

откуда следует

Следовательно, можно положить

Оператор обратного сдвига В, обычно называемый просто оператором сдвига, определяется на Е как

Теорема 7.2.3. Сдвиг хаотичен.

Доказательство.

Существенная зависимость. Пусть — любое положительное число, . Пусть из Е, и пусть U — открытое множество, содержащее а. Выберем такое , чтобы -окрестность а содержалась в U. Создадим точку , полагая сначала а затем изменяя значение таким образом, чтобы . По построению, Откуда следует, что .

Транзитивность. Для доказательства транзитивности предположим, что U и V — открытые множества в Е. Без потери общности можно считать, что . Выберем точку в U и точку в V. Выберем таким, чтобы -окрестности лежали в U и V, соответственно. При таком выборе точка , определяемая последовательностью

лежит в U.

С другой стороны,

и, следовательно, лежит в V.

Как уже было упомянуто ранее в п. 6.5, транзитивность эквивалентна наличию единственной точки f, орбита которой плотна в пространстве. В случае такая точка имеет вид:

Эта запись получена последовательным выписыванием всех блоков нулей и двоек длины 1, затем всех блоков длины 2 и т. д. Вертикальная черта здесь служит для отделения блоков длины 1 от блоков длины 2 и так далее. При любой заданной из Е и любом существует блок длины в записи , который совпадает с первыми элементами последовательности для а. Предположим, что этот блок начинается с индекса к в представлении . Тогда

и, следовательно, в соответствии с упр. 2 в конце данного параграфа. Из этого следует, что орбита плотна в

Периодичность. Мы должны доказать, что любая точка может быть аппроксимирована с заданной точностью периодической точкой. Пусть . Последовательность периодических точек в

должна сходиться к а, что и доказывает утверждение.

Обратимся теперь к понятию топологической сопряженности. Пусть — непрерывное отображение, — сдвиг в символьном пространстве. Хотя множество может быть любым компактным подмножеством метрического пространства, мы ограничимся рассмотрением компактных подмножеств

Мы говорим, что отображение действующее на , является топологически сопряженным по отношению к сдвигу В, действующему на , если существует гомеоморфизм Т, то есть такое взаимно однозначное бинепрерывное отображение Т из в , что приведенная ниже диаграмма коммутативна. Это означает, что для всех или, что равносильно,

Перед доказательством основной теоремы о топологической сопряженности приведем следующую лемму.

Лемма 7.2.1. Предположим, что Т в коммутативной диаграмме (7.3) есть гомеоморфизм. Положим и определим

Тогда

Доказательство. Доказательство будем проводить методом от противного. Если , то для каждого существуют из , для которых . Так как S компактно, то существуют точка и подпоследовательность такие, что . Без потери общности можно полагать, что Кроме того, существует точка относительно которой, также без потери общности, можно сделать предположение, что . Функция Т равномерно непрерывна на , и так как , то должно быть: Мы получили противоречие, так как по построению: Лемма доказана.

Теорема 7.2.4. Отображение , топологически сопряженное хаотично на А.

Доказательство. Нам надо показать, что удовлетворяет условиям существенной зависимости от начальных условий, транзитивности и периодичности.

Существенная зависимость. Обозначим через то значение , которое используется в условии существенной зависимости для сдвига В, действующего на Е. Пусть 6 задано предыдущей леммой. Положим, что U открыто в . Пусть . Тогда U открыто в Е, и существует такая точка и такое , что Имеется также точка такая, что . Так как то по лемме получаем, что

Транзитивность. Пусть U и F — открытые подмножества . Тогда — открытые множества в . Используем транзитивность В и найдем для которого Из этого немедленно следует, что .

Периодичность. Если является точкой периода для В, то есть точка периода для Периодические точки В плотны в Е. Пусть — произвольная точка в , и пусть — такая последовательность периодических точек в , что . Тогда последовательность периодических точек существует и сходится к . Таким образом, периодические точки плотны в . Это завершает доказательство теоремы.

Рассмотрим понятие слабой топологической сопряженности, носящей название полусопряженности. Это соответствует тому случаю, когда диаграмма

коммутативна в том смысле, что , но где Т просто непрерывно и является сюръективным отображением. В этом случае оно не обязательно взаимно однозначное и, следовательно, может не иметь обратного. В самом крайнем случае, когда Т отображает X на единственную точку, g очевидным образом не удовлетворяет условию существенной зависимости, даже если для оно выполняется. Тем не менее, справедлива следующая полезная теорема.

Теорема 7.2.5. Предположим, что диаграмма (7.4) коммутативна, то есть и что отображение Т является непрерывным и сюръективным. Если удовлетворяет условиям транзитивности и/или периодичности на X, то и g удовлетворяет этим условиям на

Доказательство. См. теорему 7.2.4.

Вернемся к анализу динамики вещественных квадратичных отображений. Пусть . Определим как множество всех начальных точек, орбиты которых захватываются, то есть

Нам уже известно, что , где . Как следует из рис. 6.5(b), незамкнутая средняя часть графика лежит ниже . Таким образом, множество захвата не включает в себя эту среднюю часть. Обозначим левый замкнутый отрезок через , а правый — через . Это интервалы первого уровня. На значения находятся в диапазоне от до . Значения , на каждом из этих двух интервалов находятся в том же диапазоне, что и значения на исходном отрезке Это приводит к появлению еще двух выброшенных открытых интервалов, средних частей соответствующих . Получающиеся в результате замкнутые интервалы уровня будем обозначать как . Если есть или , то являются подинтервалами полученными, как изображено на рис. 7.1, и поэтому

На следующем этапе, соответствующем условию на интервалах выбрасываются открытые средние части и удерживаются получающиеся восемь замкнутых интервалов . Эта процедура повторяется до бесконечности. Если обозначает один из интервалов или на уровне , то подынтервалы из выбираются таким образом:

Рис. 7.1. Построение интервалов

Заметим, что если принадлежит интервалу , то и если — из интервала , то

Если у вас возникло ощущение, что вы уже где-то встречали такую схему, то так оно и есть. При построении классического канторова множества всегда выбрасываются открытые срединные трети интервалов на каждом этапе построения. Получающееся в результате множество С топологически характеризуется как компактное, совершенное и вполне разрывное. То же самое можно сказать и про множество точек, обладающих захваченными орбитами из данного примера. Множество является одной из форм множества Кантора.

Демма 7.2.2. Пусть . Тогда существует такое число , что если есть вложенная последовательность интервалов, причем каждый есть интервал или , то длина стремится к нулю при .

Комментарий: утверждение леммы верно для любого а не только для . Ради простоты доказательства мы рассматриваем только этот частный случай.

Доказательство. Множество, на котором представляет собой интервал с центром в точке 0 и конечными точками, которые удовлетворяют

В этих граничных точках равная изменяется от 0 до по мере того как с убывает от до Величина с, которую мы хотим найти, соответствует условию, когда в граничных точках Если то величина на множестве захваченных точек строго больше 1, скажем, . Величина . Примененяя цепное правило дифференцирования сложной функции, получаем, что на .

Пусть — последовательность интервалов, заданная в условии леммы. Пересечение этих интервалов есть отрезок . По теореме о среднем значении из анализа известно, что существует точка для которой

и, следовательно,

Так как это справедливо для любого получаем

Теорема 7.2.6. Отображение с при хаотично на множестве

Доказательство. Пусть — множество захвата,

— орбита Обозначим маршрут следующим образом:

положив или 2, в соответствии с тем, какому интервалу, или В, принадлежит точка

Мы покажем, что отображение , устанавливающее соответствие между точкой а; и ее маршрутом, то есть

удовлетворяет условиям теоремы 7.2.4. Из этой теоремы следует, что функция хаотична на .

По построению, отображение Т определено на всем . Для того чтобы показать, что Т взаимно однозначно, предположим, что . Для каждого n, обе точки лежат либо в либо в . Рассмотрим интервал Функция однозначна на этом интервале. По теореме о среднем значении (см. доказательство леммы 7.2.2) существует такая постоянная , что выполняется . Так как при , это возможно, только если . Следовательно, отображение Т взаимно однозначно.

Покажем, что . Пусть и ее орбита есть

Тогда орбита имеет вид

Отсюда следует, что если . Но также равно и следовательно, .

Докажем, что Т отображает на Е. Пусть Положим , если или если . Выберем так, что

и каждый интервал равен если или если . По лемме 7.2.2 длина интервалов стремится к нулю при . Существует ровно одна точка . По построению интервалов если есть интервал, то символ в выражении для равен 1. Соответственно, если есть интервал, то символ в выражении для равен 2. Это показывает, что символическое выражение для в точности такое же, как с которого мы начали. Следовательно, Т есть сюръективное отображение.

Непрерывность Т доказывается следующим образом. Пусть дано . Выберем достаточно большим, чтобы Выберем меньше минимального расстояния между двумя последовательным интервалами или . Пусть то для каждого значения лежат в одних и тех же интервалах или В. Следовательно, , из чего следует, что

Непрерывность доказана.

Если Т — взаимно однозначное непрерывное отображение из компактного метрического пространства () в метрическое пространство , то автоматически является непрерывным (теорема ). Следовательно, Т есть гомеоморфизм.

Теорема 7.2.7. Квадратичная функция хаотична на интервале

Доказательство. Чтобы доказать утверждение теоремы, начнем с того, что покажем полусопряженность этого отображения с действующим на Пусть определено как

Ясно, что Т непрерывно и сюръективно. Диаграмма

коммутативна, так как . Функция Т не является взаимно однозначной. Каждой точке отрезка соответствует пара точек окружности (за исключением точек (1,0) и (-1,0)). Тем не менее, теорема 7.2.5 применима, и так как хаотична на что а удовлетворяет условиям транзитивности и периодичности для хаоса.

По теореме 7.1.1, функция также удовлетворяет требованию существенной зависимости от начальных условий и таким образом хаотична.

Условие существенной зависимости легко доказывается и непосредственно. Пусть U — открытое множество в [-2,2]. Так как Т непрерывно, то открыто в Пусть А — дуга в U. Для некоторого покрывает всю Из этого следует, что покрывает весь интервал [-2,2]. В частности, если то существуют точки для которых