9.5. Срединное смещение и ФБД

Алгоритмы случайного срединного смещения из п. 9.3 хорошо моделируют классическое броуновское движение. Попытки модифицировать их таким образом, чтобы можно было моделировать фрактальное броуновское движение с параметром уже предпринимались. Как оказалось, полученные фракталы не обладают основными свойствами фрактального броуновского движения, то есть не удовлетворяют закону дисперсии и не обладают стационарными приращениями. Тем не менее, эти алгоритмы широко используются для аппроксимации ФБД при моделирования естественных ландшафтов, таких, например, как горные массивы [16]. Фурнье, Фассел и Карпентер [16] использовали эти алгоритмы для создания фрактальных сцен для фильма «Звездное переселение II: гнев хана».

Рис. 9.14. Поверхность ФБД: Н = 0,8

Однако, из-за отсутствия указанных выше статистических свойств результаты такого моделирования подвергались критике со стороны других исследователей, включая Мандельброта [32].

Алгоритм одномерного броуновского движения (9.3.1) легко изменяется для учета параметра Н фрактального броуновского движения. Надо просто заменить величину смещения на уровне k

на

где

Вместо того чтобы повторять алгоритм 9.3.1 с этими изменениями, приведем равносильный алгоритм, записанный в виде рекурсии.

Алгоритм 9.5.3. (СРЕДИННАЯ КРИВАЯ)

Назначение: программа-драйвер для аппроксимации кривой ФБД с помощью срединного смещения. Вызывает рекурсивную программу DIVIDE1 (алгоритм 9.5.4).

Замечание: аппроксимация ФБД точна только при Н = 1/2.

Вход:

Выход:

Инициализация:

Комментарий: каждое обращение к gauss в последующих шагах означает вычисление независимой нормальной случайной величины.

Шаги:

Алгоритм 9.5.4. (DIVIDEl)

Назначение: рекурсивная процедура, которую вызывает алгоритм СРЕДИННАЯ КРИВАЯ.

Вход: (параметры, передаваемые с предыдущего уровня):

Существует модифицированная версия двумерного алгоритма срединного смещения, описанного в п. 9.3 для классического броуновского движения. Как и следовало ожидать, этот алгоритм не дает настоящую поверхность ФБД, но широко применяется в компьютерных экспериментах. Выходные массивы имеют вид, как на рис. 9.13 или 9.14. Алгоритм 9.5.5 соответствует описанию в [38, с. 90].

Алгоритм 9.5.5. (Срединная поверхность)

Назначение: аппроксимирует поверхность ФБД с помощью срединного смещения.

Вход:

Выход:

Инициализация:

Комментарий: каждое обращение к д означает разыгрывание независимой нормальной случайной величины.

Шаги: