2.4. Кривые Пеано

Снежинку Коха и другие непрерывные кривые на плоскости, полученные с помощью L-систем, объединяет то, что их размерность удовлетворяет неравенству: . Возникает вопрос, существует ли кривая размерности ? Этот вопрос примечателен не только тем, что ответ на него положительный, но и тем, что он был разрешен Джузеппе Пеано еще в 1890 году. Пеано построил непрерывную функцию, чья область определения — отрезок, а область значений — квадрат на плоскости.

Рис. 2.22. Первая итерация построения Пеано,

Соответствующая линия называется кривой Пеано или кривой, заполняющей плоскость. Кривая Пеано не является фракталом в определении Мандельброта, но тем не менее интересна как пример функции, отображающей множество заданной размерности на множество большей размерности. Это и другие подобные открытия примерно того же времени, в особенности работы Вейерштрасса и Кантора, оказали огромное влияние на дальнейшее развитие математического анализа. Опоры на одну только интуицию уже недостаточно. Понятие кривой Пеано, безусловно, не является интуитивным, а изначально появилось из чисто аналитических рассуждений.

Введем некоторые обозначения, удобные при изучении свойств кривой Пеано. Пусть I — единичный отрезок [0,1), S — единичный квадрат то есть:

При построении, как и в п. 2.3, используется представление точек отрезка I в системе счисления по основанию 9. Первый шаг состоит в том, чтобы разбить S на девять равных частей. Непрерывная кривая, которая проходит через все квадраты, строится так, как показано на рис. 2.22 сплошной линией со стрелками.

Рис. 2.23. Вторая итерация построения Пеано,

Пунктирная линия указывает, в каком порядке обходятся квадраты. Квадраты занумерованы числами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8, в соответствии с порядком, в котором линия их пересекает. Полученная линия представляет собой первую итерацию построения.

Далее, каждый из этих девяти квадратов разбивается на девять равных подквадратов, которые нумеруются аналогично тому, как это было сделано на первой итерации. Получаем линию, которая проходит через девять подквадратов таким образом, что ее начальная и конечная точки ложатся на кривую предыдущего уровня. Это позволяет нам занумеровать подквадраты числами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 внутри каждого квадрата. Повторим описанную процедуру бесконечно, каждый раз разбивая квадраты на девять подквадратов, строя кривую через все подквадраты так, чтобы ее концы ложились на линию предыдущего уровня, и занумеровывая их. На рис. 2.23 изображено, как выглядит после двух итераций квадрат с номером 4.

Фактически, кривая Пеано, переводящая I в S, определяется отображением, которое сопоставляет точке записанной в девятиричной системе счисления точку по следующему правилу:

— в квадрате под номером после первой итерации,

— в квадрате под номером после второй итерации,

— в квадрате под номером хххх после третьей итерации,

Теорема 2.4.3. Отображение Пеано есть непрерывная функция, переводящая интервал I в квадрат S. Более того, последовательность отображений сходится:

Доказательство. Доказательство предполагает знание равномерной сходимости и критерия Коши (прил. ). Также см. [5] или [42].

Мы докажем более сильное утверждение, чем просто существование предела в (2.3). Именно, мы установим, что сходимость на отрезке I — равномерная, из чего можно будет сделать вывод о непрерывности предельной функции. Для установления равномерной сходимости применим критерий Коши в следующей формулировке.

Для каждого существует такой номер что при выполняется неравенство:

где — евклидово расстояние (длина прямой) между точками

Пусть . Рассмотрим сетку натянутую на точки вида: . Пусть и точки разбивают отрезок [0,1] на интервалов равной длины. Заметим, что перемещается по диагонали одного из квадратов сетки при изменении от до . С другой стороны, обязательно находится в том же квадрате, если . Следовательно, для

Приведенное рассуждение не зависит от того, какому именно интервалу принадежит точка а значит, неравенство верно для всех . Таким образом, выбрав К из условия мы удовлетворим неравенству (2.4) при

Отображение Пеано не устанавливает взаимно однозначного соответствия между точками множеств I и S. Это в принципе невозможно сделать с помощью непрерывной функции. Одной точке вдоль общего ребра двух квадратов соответствуют две точки отрезка. Более того, одной точке на стыке четырех квадратов соответствуют целых четыре точки отрезка (см. упр. 3 и 4 в конце этого параграфа).

Кривую Пеано можно построить на экране компьютера при помощи тертл-графики и следующей L-системы:

Другие известные кривые, заполняющие плоскость, принадлежат Гильберту, Серпинскому и Госперу (рис. 2.24, 2.25, 2.26).

Рис. 2.24. Кривая Гильберта после 4-х итераций

Рис. 2.25. Кривая Серпинского после 3-х итераций

Рис. 2.26. Кривая Госпера после 3-х итераций

Рис. 2.27. К упр. 6