Главная > Разное > Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Множество Кантора размерности d = 0,9542.

Рассмотрим пример самоподобного фрактала, являющегося множеством Кантора фрактальной размерности (в то время как размерность канторовой пыли d = 0,6309).

Обозначим через X множество всех вещественных чисел отрезка [0,1], в десятичном представлении которых:

отсутствует какая-нибудь цифра, скажем, цифра 7. К примеру, числа

принадлежат множеству X. Принадлежит X и число 0,7, так как мы можем записать его следующим образом:

то есть не используя цифру 7.

По некотором размышлении становится ясно, как построить множество X. Пусть . Разделим на десять равных интервалов. Цифра указывает, какому из интервалов принадлежит . Если то попадает в первый интервал и т. д. Двусмысленность возникает только в том случае, когда совпадает с концом какого-либо отрезка. Тогда имеется два возможных представления числа одно оканчивается всеми нулями, другое — всеми девятками. Но это не создает никаких проблем, так как мы договорились заранее, что ни одна цифра не равна 7. Раз , то не попадает в восьмой интервал, то есть не принадлежит интервалу (0,7; 0,8). Выбросим этот интервал и обозначим оставшееся множество через Разделим каждый из девяти оставшихся интервалов на десять равных частей. Так как , то мы можем выбросить каждый восьмой из получившихся интервалов. Обозначим новое множество через Повторяя описанную процедуру бесконечное число раз, получим последовательность вложенных множеств . Искомое множество X есть пересечение всех этих множеств. Из построения следует, что X представляет собой объединение уменьшенных в 10 раз копий самого себя.

Таким образом, — самоподобный фрактал, и его фрактальная размерность равна:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление