ЕГЭ и ОГЭ
Хочу знать
Главная > Разное > Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Научная библиотека

Научная библиотека

избранных естественно-научных изданий

Научная библиотека служит для получения быстрого и удобного доступа к информации естественно-научных изданий, получивших широкое распространение в России и за рубежом. На сайте впервые широкой публике представлены некоторые авторские издания написанные ведущими учеными страны.

Во избежании нарушения авторского права, материал библиотеки доступен по паролю ограниченному кругу студентов и преподавателей вузов. Исключение составляют авторские издания, на которые имеются разрешения публикации в открытой печати.

Математика

Физика

Методы обработки сигналов

Схемотехника

Астрономия

Разное

Научная библиотека

Научная библиотека

избранных естественно-научных изданий

Научная библиотека служит для получения быстрого и удобного доступа к информации естественно-научных изданий, получивших широкое распространение в России и за рубежом. На сайте впервые широкой публике представлены некоторые авторские издания написанные ведущими учеными страны.

Во избежании нарушения авторского права, материал библиотеки доступен по паролю ограниченному кругу студентов и преподавателей вузов. Исключение составляют авторские издания, на которые имеются разрешения публикации в открытой печати.

Математика

Физика

Методы обработки сигналов

Схемотехника

Астрономия

Разное

Макеты страниц

9.7. Фильтрация Фурье

Практически, процесс моделирования ФБД можно упростить, аппроксимировав преобразование Фурье с помощью рядов Фурье, при условии, что требуемые свойства спектральной плотности сохраняются. После этого мы можем использовать обратное преобразование Фурье для получения требуемого ФБД. Рассмотрим подробнее дискретное преобразование Фурье.

Дискретное преобразование Фурье. Предположим, что нам известны значения сигнала в точках:

Пусть Интервал называется шагом дискретизации, а число отсчетов в единицу времени называется частотой дискретизации. Для удобства считаем N четным.

Мы хотим использовать N отсчетов сигнала для аппроксимации такого же числа значений функции

Хотя всего имеется точек, но, так как при отсчеты равны, число различных величин равно N. Мы аппроксимируем преобразование Фурье в точках суммой:

Последняя сумма в этом выражении называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) отсчетов и обозначается то есть:

И

Введем или если требуется отметить зависимость от

Тогда ДПФ можно записать так:

Из (9.18) следует, что ДПФ периодично с периодом N. Вследствие этого обычно вычисляются для а значения

нумеруют следующим образом:

ДПФ можно трактовать как преобразование из в R.

А именно, ДПФ отображает вектор

Это линейное отображение, которое в матрично-векторной форме записывается как

где

Легко доказывается, что (упр. 1 в конце параграфа):

где I — единичная матрица N х N. Отсюда следует:

Это приводит нас к формуле обратного ДПФ:

Вычислять ДПФ (или ОДПФ) умножением на матрицу А (или ) не эффективно, так как умножение матрицы на вектор в (9.19) требует порядка скалярных умножений. Обычно используется алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), который приведен в прил. А.6. В случае, если N равно степени 2, число умножений можно сократить до примерно

Фильтрация.

Применим метод Фурье-фильтрации для моделирования ФБД с параметром . Идея состоит в следующем. Построим сначала преобразование Фурье предлагаемого ФБД в частотной области, задавая случайные фазы и подбирая амплитуды, удовлетворяющие свойству спектральной плотности теоремы 9.6.7. Затем получим требуемое ФБД во временной области с помощью обратного преобразования Фурье.

На самом деле мы моделируем не непрерывное ФБД, а его дискретный аналог. Моделирование начинается с создания вектора, который является ДПФ предполагаемого ФБД. После этого осуществляется ОДПФ этого вектора, что и дает требуемое ФБД, которое обозначается как . Для того чтобы величины были вещественными, необходимо, чтобы удовлетворялся дискретный аналог формулы (9.15). То есть в дискретном случае должно быть (упр. 2 в конце параграфа):

Фильтрация относится к той части моделирования, когда мы заставляем коэффициенты преобразования удовлетворять степенному закону (9.16), или в дискретном виде:

Алгоритм 9.7.6 осуществляет эту процедуру для , а затем использует условие сопряженной симметрии для вычисления остальных коэффициентов.

Алгоритм 9.7.6. (КРИВАЯ ФБД)

Назначение: строит кривую ФБД с помощью Фурье-фильтрации. Вход:

Выход:

Инициализация:

Комментарий: каждое обращение к д означает разыгрывание независимой нормальной случайной величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Комментарий: каждое обращение к и означает разыгрывание равномерно распределенной на отрезке [0,1] случайной величины.

Шаги:

Для построения поверхности ФБД с помощью Фурье-фильтрации мы используем ту же процедуру, что и в одномерном случае, заменив на . Условие степенной зависимости спектральной плотности в этом случае принимает вид [38]:

Условия симметрии по сопряженности принимают вид (упр. 3):

Алгоритм 9.7.7. (ПОВЕРХНОСТЬ ФБД)

Назначение: строит поверхность ФБД с помощью Фурье-фильтрации.

Вход:

Выход:

Инициализация:

Комментарий: каждое обращение к д означает разыгрывание независимой нормальной случайной величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Комментарий: каждое обращение к и означает разыгрывание равномерно распределенной на отрезке [0,1] случайной величины.

Комментарий: по определению

Шаги:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление