9.7. Фильтрация Фурье

Практически, процесс моделирования ФБД можно упростить, аппроксимировав преобразование Фурье с помощью рядов Фурье, при условии, что требуемые свойства спектральной плотности сохраняются. После этого мы можем использовать обратное преобразование Фурье для получения требуемого ФБД. Рассмотрим подробнее дискретное преобразование Фурье.

Дискретное преобразование Фурье. Предположим, что нам известны значения сигнала в точках:

Пусть Интервал называется шагом дискретизации, а число отсчетов в единицу времени называется частотой дискретизации. Для удобства считаем N четным.

Мы хотим использовать N отсчетов сигнала для аппроксимации такого же числа значений функции

Хотя всего имеется точек, но, так как при отсчеты равны, число различных величин равно N. Мы аппроксимируем преобразование Фурье в точках суммой:

Последняя сумма в этом выражении называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) отсчетов и обозначается то есть:

И

Введем или если требуется отметить зависимость от

Тогда ДПФ можно записать так:

Из (9.18) следует, что ДПФ периодично с периодом N. Вследствие этого обычно вычисляются для а значения

нумеруют следующим образом:

ДПФ можно трактовать как преобразование из в R.

А именно, ДПФ отображает вектор

Это линейное отображение, которое в матрично-векторной форме записывается как

где

Легко доказывается, что (упр. 1 в конце параграфа):

где I — единичная матрица N х N. Отсюда следует:

Это приводит нас к формуле обратного ДПФ:

Вычислять ДПФ (или ОДПФ) умножением на матрицу А (или ) не эффективно, так как умножение матрицы на вектор в (9.19) требует порядка скалярных умножений. Обычно используется алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), который приведен в прил. А.6. В случае, если N равно степени 2, число умножений можно сократить до примерно

Фильтрация.

Применим метод Фурье-фильтрации для моделирования ФБД с параметром . Идея состоит в следующем. Построим сначала преобразование Фурье предлагаемого ФБД в частотной области, задавая случайные фазы и подбирая амплитуды, удовлетворяющие свойству спектральной плотности теоремы 9.6.7. Затем получим требуемое ФБД во временной области с помощью обратного преобразования Фурье.

На самом деле мы моделируем не непрерывное ФБД, а его дискретный аналог. Моделирование начинается с создания вектора, который является ДПФ предполагаемого ФБД. После этого осуществляется ОДПФ этого вектора, что и дает требуемое ФБД, которое обозначается как . Для того чтобы величины были вещественными, необходимо, чтобы удовлетворялся дискретный аналог формулы (9.15). То есть в дискретном случае должно быть (упр. 2 в конце параграфа):

Фильтрация относится к той части моделирования, когда мы заставляем коэффициенты преобразования удовлетворять степенному закону (9.16), или в дискретном виде:

Алгоритм 9.7.6 осуществляет эту процедуру для , а затем использует условие сопряженной симметрии для вычисления остальных коэффициентов.

Алгоритм 9.7.6. (КРИВАЯ ФБД)

Назначение: строит кривую ФБД с помощью Фурье-фильтрации. Вход:

Выход:

Инициализация:

Комментарий: каждое обращение к д означает разыгрывание независимой нормальной случайной величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Комментарий: каждое обращение к и означает разыгрывание равномерно распределенной на отрезке [0,1] случайной величины.

Шаги:

Для построения поверхности ФБД с помощью Фурье-фильтрации мы используем ту же процедуру, что и в одномерном случае, заменив на . Условие степенной зависимости спектральной плотности в этом случае принимает вид [38]:

Условия симметрии по сопряженности принимают вид (упр. 3):

Алгоритм 9.7.7. (ПОВЕРХНОСТЬ ФБД)

Назначение: строит поверхность ФБД с помощью Фурье-фильтрации.

Вход:

Выход:

Инициализация:

Комментарий: каждое обращение к д означает разыгрывание независимой нормальной случайной величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Комментарий: каждое обращение к и означает разыгрывание равномерно распределенной на отрезке [0,1] случайной величины.

Комментарий: по определению

Шаги: