6.3. Универсальность Фейгенбаума

Основной вопрос в теории турбулентности сводится к тому, как предсказать ее возникновение, исходя из условия кажущейся стабильности и равновесия. Примеры такого перехода к хаосу наблюдаются нами ежедневно. Дым от зажженной сигареты вначале поднимается в виде столба. Но немного спустя этот столб испытывает бифуркации и становится хаотическим. Вода начинает капать из крана с одной капли, а затем кап-кап, потом кап-кап-кап — все быстрее и быстрее, до тех пор, пока не возникает хаос. Есть даже любители, стремящиеся найти все новые и новые примеры естественного хаоса [17, с. 262].

Фейгенбаум начал свои исследования с анализа интервалов между бифуркациями (удвоениями периода) в диаграмме орбит для квадратичной функции . Соответствующая диаграмма орбит выглядит почти так же, как и для функции (рис. 6.9). Основное значение анализа, проведенного Фейгенбаумом, заключается в его универсальности.

Рис. 6.9. Диаграмма орбит для с

Описанный им механизм, известный теперь под названием «получение хаоса с помощью удвоения периода», возникает не только при итерациях но и в случае широкого класса двузначных отображений интервала в себя, таких, как определенных на подходящих интервалах. В частности, этот класс включает в себя функции заданные на [0,1] и достигающие максимума в точке при условии, что причем монотонна на отрезках и ее производная Шварца отрицательна при всех (см. [24, прил. D]):

Обозначим через точки бифуркации на диаграмме орбит (рис. 6.9), то есть те точки , в которых итерирование сменяет притягивающую орбиту периода на притягивающую орбиту периода

Эти точки приведены также в табл. 6.1. Из п. 6.2 нам известно, что не существует вещественных неподвижных точек при . При существует притягивающая орбита периода 1. При существует притягивающая орбита периода 2, которая превращается в притягивающую орбиту периода 4, когда с проходит через значение —5/4. Проведенное рассмотрение дает нам значения . По мере увеличения определять эти точки бифуркации становится все труднее и труднее. Остальные значения в таблице приведены по [7, табл. 1.25] для функции (упр. 1 в конце данного параграфа).

При рассмотрении табл. 6.1 можно сделать два важных наблюдения. Первое заключается в том, что значения точек бифуркации стремятся к пределу с:

Иногда точка называется точкой Фейгенбаума. В диапазоне между удвоение периода присходит по мере того как с Другой участок, где иногда называется областью хаоса. В следующем параграфе рассматривается наиболее важная черта области хаоса, так называемое окно периода 3, которое соответствует наиболее светлому участку диаграммы орбит в окрестности

Таблица 6.1. Точки бифуркации для с

Второе наблюдение заключается в том, что отношение длин последовательных интервалов между точками бифуркации, оказывается, имеет предел:

Константа d = 4,669162... называется постоянной Фейгенбаума. Конечно, замечательно, что в данном примере существуют два предела и d. Но следует ли ожидать такого же поведения у других двузначных функций? Первое и вполне правдоподобное предположение заключается в том, что они тоже будут давать диаграмму орбит, имеющую область удвоения периода, а также пределы, сходные с (6.1) и (6.2). Разумеется, это так и есть. Причем, как легко видеть на примере функции значение в общем случае не совпадает с (6.1).

Но самым замечательным обстоятельством является то, что постоянная Фейгенбаума d, заданная формулой (6.1), имеет одно и то же значение для многих различных двузначных функций, включая те, которые были приведены в начале этого параграфа. По этой причине значение d называется универсальной константой. Она применяется для предсказания наступления хаоса. Пусть

Тогда

и

Откуда следует, что

Таким образом, интервал между приблизительно равен:

Были выполнены лабораторные эксперименты, основанные на приведенном выше принципе, с использованием реальных данных. И хотя полученные численные значения не совсем точно соответствовали теоретическим значениям, приведенным в табл. 6.1, они показали достаточно хорошую согласованность.

Достаточно трудно, если вообще возможно, аналитически определить точки бифуркации для конкретной функции, такой, как , и таким образом завершить тщательный анализ константы Фейгенбаума, описываемой выражением (6.2). К счастью, имеется другой путь. Между каждой парой точек бифуркации существует точка с, которая обладает сверхпритягивающей орбитой с периодом . Для этого значения с, критическая точка функции удовлетворяет уравнению Было доказано, что постоянная Фейгенбаума d определяется также в виде:

Значения с можно находить численно, используя метод Ньютона для нахождения корней.

Напомним, что нахождение корня уравнения методом Ньютона начинается с нулевого приближения и продолжается по формуле

Если достаточно близко к корню , то (упр. 6 из п. 3.3). Из (6.3) следует, что

Подходящее начальное значение для с можно получить, заменяя d в (6.4) на где

При этом возникает проблема для начальных значений при которую мы разрешаем, полагая

Таким образом, для настоящей задачи метод Ньютона применяется к функции

где суть критическая точка . Значение вычисляется итерированием Производная также вычисляется итерированием. Пусть . В случае это дает

и для получаем:

Можно выбрать следующий критерий окончания итерационного процесса. Вычисления по формуле Ньютона следует вести до выполнения неравенства , то есть пока относительная ошибка не станет меньше машинного нуля используемой ЭВМ. Машинным нулем называется такое наименьшее положительное число , представленное в виде с плавающей запятой, что Результаты, приведенные в табл. 6.2, получены при

Упражнения 6.3.

1. Показать, что точки бифуркации для совпадают с точками .