Глава 2. Классические фракталы

2.1. Самоподобие

Разделим отрезок прямой на N равных частей. Тогда каждую часть можно считать копией всего отрезка, уменьшенной в 1/r раз. Очевидно, N и связаны соотношением Nr = 1 (рис. 2.1). Если квадрат разбить на N равных квадратов (с площадью, в раз меньше площади исходного), то соотношение запишется как . Если куб разбить на N равных кубов (с объемом, в раз меньше объема исходного), то соотношение примет следующий вид: . Заметим, что размерность d объекта, будь то одномерный отрезок, двумерный квадрат или трехмерный куб, появляется как степень в соотношении между N, числом равных подобъектов, и коэффициентом подобия . А именно:

Множества, построенные на рис. 2.1, обладают целой размерностью. Зададимся вопросом, возможно ли такое построение, при котором показатель d в равенстве (2.1) не является целым, то есть такое, что при разбиении исходного множества на N непересекающихся подмножеств, полученных масштабированием оригинала с коэффициентом , значение d не будет выражаться целым числом. Ответ, как мы убедимся — решительное да! Такое множество называют самоподобным фракталом. Величину d называют фрактальной (дробной) размерностью или размерностью подобия. Явное выражение для d через N и находится логарифмированием обеих частей

Логарифм можно взять по любому положительному основанию, отличному от единицы например по основанию 10 или по основанию .

Рис. 2.1. Связь размерности и коэффициента подобия

Более общий тип самоподобных фракталов рассматривается в п. 5.1. Фрактал по-прежнему может быть объединением непересекающихся подмножеств, полученных масштабированием оригинала, но коэффициенты подобия уже не обязательно одни и те же для всех подмножеств. В этом случае формула для размерности (2.2) неприменима.

Термин фрактал был впервые введен в 1975 году Бенуа Мандельбротом, пионером в области фрактальной геометрии. Многие математические идеи оформились задолго до этого, еще в XIX-м веке, в работах Георга Кантора, Карла Вейерштрасса, Джузеппе Пеано и других. Понятие фрактальной (дробной) размерности появилось в 1919 году в работе Феликса Хаусдорфа. Тем не менее, именно Мандельброт объединил эти идеи и положил начало систематическому изучению фракталов и их приложений.

В 5-й главе и в прил. А.5 будет дано строгое математическое изложение вопросов, связанных с дробной размерностью.

При этом следует иметь в виду, что понятие фрактала еще находится в развитии и разные источники могут использовать различные определения. Заметим здесь, что некоторые множества целой размерности также являются фракталами, как следует из нашего определения.