9.1. Случайные возмущения

Мы можем построить рандомизированную снежинку Коха, добавляя на каждом шаге равносторонние треугольники, обращенные как внутрь, так и наружу (рис. 9.1).

Если на каждом шаге мы сделаем выбор направления внутрь или наружу случайным, то в итоге получим фрактальную кривую, которая по-прежнему имеет размерность (при условии, что перекрытий не слишком много). Кривые, полученные таким образом, могут использоваться для моделирования береговых линий островов (хотя лучшей моделью является линия уровня фрактальной броуновской поверхности; см. п. 9.4). На рис. 9.2 приведена кривая Коха, рандомизированная подобным образом.

Возможны и другие варианты рандомизации L-систем и СИФ. Например, в случае ковра Серпинского, при построении которого обычно удаляется средняя из четырех треугольных областей (рис. 2.4), мы можем случайно удалять любой из четырех треугольников (рис. 9.3).

Рис. 9.2. Рандомизированная кривая Коха

Рис. 9.3. Рандомизированный ковер Серпинского

Приведенные примеры лишь поверхностно иллюстрируют предмет рандомизированных фрактальных построений. Другие способы заключаются в рандомизации параметров, используемых в детерминированных конструкциях. В качестве примера можно привести рандомизацию длин интервалов, удаляемых при построении множества Кантора. Существует ряд глубоких теорем о размерности фракталов, получаемых подобным образом. Ряд интересных теорем описывает также свойства протекания фракталов типа рандомизированных ковров. За дополнительной информацией мы отсылаем читателя к книге Фалконе [14].