Подъем СИФ.

Трудности, встретившиеся при определении индуцированной функции (3 на аттракторе Е, очевидным образом связаны с тем, что функция Ф не является взаимно однозначной. Но независимо от фракталов и хаоса существует стандартный метод, позволящий так изменять исходную функцию, чтобы новая функция была бы уже взаимно однозначной. Пусть

— произвольная функция (предположительно, не взаимно однозначная). Определим новую функцию

называемую поднятой функцией, положив:

Таким образом, вместо отображения в значение новое отображение переводит в точку графика . Ясно, что новая функция является взаимно однозначной и содержит в себе всю информацию о функции

Применим эту методику подъема к функции заданной формулой (7.5). Определим ее график следующим образом:

а поднятую функцию как

Теперь нам осталось сделать принципиальный шаг. Мы должны изменить исходную СИФ таким образом, чтобы ее аттрактором стало множество Е. Для этого поднимем отображения с X (через X обозначен аттрактор Е) на .

Теорема 7.4.13. Пусть и пусть d определено как

Тогда (X, d) есть компактное метрическое пространство, поднятые отображения

являются сжимающими на (X, d), а множество Е, то есть график Ф, является аттрактором СИФ

Доказательство. Отображение на есть сжатие с коэффициентом . Это следует из того, что

Как известно из упр. 7 п. 3.3, d является метрикой на X. Как следует из определения d, топология (X, d) представляет собой топологию произведения . Так как Е и X компактны, то компактно и их произведение. Это доказывает первое утверждение.

Сжимающий характер Т также следует из результатов упр. 7 п. 3.3. Коэффициент сжатия для Т, можно положить равным , где есть коэффициент сжатия .

Остается определить аттрактор для поднятой СИФ. Как следует из теоремы 7.3.8, отображение из в X, определенное как

переводит в аттрактор, а предел не зависит от выбора . Фактически, это то же отображение, что и , определенное формулой (7.10). По построению

Справедливо также

в силу того, что

Приведенные утверждения доказывают, что предел в формуле (7.12) равен , то есть . Таким образом, аттрактор поднятой СИФ является графиком Е функции Ф.

Как и в случае исходной СИФ, мы ограничиваем действие отображений аттрактором. То есть преобразования действуют лишь на Е, а не на множестве , на котором они были первоначально определены. Рассмотрим диаграмму

Так как взаимно однозначная функция, то поднятая СИФ является вполне несвязной, и по теореме 7.3.12 индуцированное отображение

хаотично на Е.

Теорема 7.4.14. Отображение определенное формулой (7.14), можно представить следующим образом:

? Доказательство. Так как поднятая СИФ вполне несвязна, то применима теорема 7.3.11, что дает

где г — единственный индекс, для которого

Но

Дело в том, что если

то

а значит , то есть . Окончательно, из

следует, что

Пример 3 (продолжение). Продолжим рассмотрение случая СИФ с чистым касанием:

Построим соответствующую поднятую СИФ. Символьное пространство , определенное на двух символах 1, 2, метрически эквивалентно классическому канторову множеству С (упр. 3 из п. 7.2), получаемому в виде аттрактора СИФ:

Рис. 7.2. Динамика поднятой СИФ

Мы можем заменить на С, а отображения на , соответственно. Учитывая сказанное, поднятые варианты отображений имеют вид:

В матрично-векторном виде эти уравнения записываются как

На рис. 7.2 построен аттрактор поднятой СИФ. Аттрактор исходной СИФ изображен на горизонтальной оси. Проекциями аттрактора поднятой СИФ на оси координат являются Е и С.

Изображены также некоторые точки орбиты поднятой СИФ и их проекции.