8.2. Орбиты в множествах Жюлиа

В этом параграфе мы изучим еще один подход к вычислению множеств Жюлиа. Эта теория важна для понимания множества Мандельброта.

Пусть — точка множества Жюлиа Далее полагаем, что — полином. В соответствии с определениями, приведенными в главе 6, точка — периодическая с периодом (но необязятельно с наименьшим периодом ), если Существуют несколько возможных типов поведения, зависящих от величины производной которую будем обозначать через А. Будем говорить, что периодическая точка z: сверхпритягивающая, если притягивающая, если нейтральная, если отталкивающая, если

Если w есть притягивающая или сверпритягивающая неподвижная точка, то область (бассейн) притяжения для w определяется как

Точка может быть классифицирована таким же образом. В теории функций комплексного перменного величина допустима и удовлетворяет, помимо прочих соотношений, уравнению при любом . Окрестность бесконечно удаленной точки определяется в виде при некотором

Динамическое поведение комплексной функции определенной в окрестности W бесконечно удаленной точки может быть исследовано заменой на Поведение функции в бесконечно удаленной точке эквивалентно поведению функции в окрестности точки 0, что очевидно из следующей коммутативной диаграммы:

Точка является притягивающей периодической точкой если точка 0 — притягивающая периодическая точка F. Например, если то принимает значение 0 при . Из этого следует, что бесконечно удаленная точка является сверхпритягивающей неподвижной точкой для . Следующая теорема представляет собой основной результат о соотношении множеств Жюлиа с орбитами при прямых и обратных итерациях. Подробное доказательство можно найти в [11] и [14].

Теорема 8.2.2. Пусть f — полином степени Следующие определения множества Жюлиа эквивалентны.

1. J(f) есть граница области притяжения всех притягивающих неподвижных точек включая

2. Каждая отталкивающая периодическая точка принадлежит является замыканием множества всех отталкивающих периодических точек

3. Если , то есть замыкание (через ) обозначено множество .

Боже того, за исключением самое большее одной точки w на плоскости С, множество Жюлиа удовлетворяет

где предел понимается в смысле метрики Хаусдорфа.

Первое характеристическое свойство обобщает определение, первоначально данное для множества Жюлиа полинома:

так как является притягивающей неподвижной точкой в случае полинома, что было доказано выше в частном случае .

Второе характеристическое свойство, касающееся плотности отталкивающих периодических точек, часто приводится как определение множества Жюлиа. В отличие от первого характеристического свойства, оно применимо не только к полиномам. Заметим также, что это определение автоматически удовлетворяет одному из требований, предъявляемых к хаотической динамической системе, а именно, условию плотности периодических точек.

Третье характеристическое свойство и определение (8.1) часто используются для вычисления множеств Жюлиа и их графического представления.

Продолжим рассмотрение примера начатое в предыдущем параграфе. В этом случае имеются три неподвижные точки: . Две точки, являются сверхпритягивающими, а точка — отталкивающей. Области притяжения для

и

соответственно. По определению 1 теоремы 8.2.2:

Периодические точки порядка удовлетворяют уравнению . Если , то а значит имеется точно периодических точек. Все они лежат на единичной окружности и распределены на ней равномерно. Все эти ненулевые периодические точки являются отталкивающими, так как (упр. 1 в конце данного параграфа), а их совокупность образует плотное подмножество единичной окружности. Таким образом, определение 2 теоремы дает тот же результат, что и определение 1, в частном случае Мы оставляем читателю самому убедиться, что определение 3 приводит к тому же множеству Жюлиа (упр. 2 в конце настоящего параграфа). Заметим только, что за исключением точки в С, обратные орбиты точки w сходятся к единичной окружности, то есть к .

Следующий алгоритм требует вычисления квадратных корней из комплексных чисел.

Если то два квадратных корня записываются в виде Однако, обычно нам приходится работать с числами вида и в этом случае удобнее использовать следующую формулу (см. упр. 3 в конце параграфа):

При каждом обращении к этой формуле может быть вычислено любое из двух значений квадратного корня.

Алгоритм 8.2.2 вычисляет и отображает множество Жюлиа для с. Этот алгоритм использует обратную итерацию и основывается на третьем определении теоремы 8.2.2. Для того чтобы начать процесс итерирования, необходимо вычислить одну отталкивающую периодическую точку. Этот шаг выполняется в первой части алгоритма с помощью вычисления двух неподвижных точек и удержания той из них, которая имеет большую абсолютную величину. Эта неподвижная точка всегда отталкивающая (упр. 4 в конце параграфа).

Алгоритм 8.2.2. (ПОЛУЧЕНИЕ МНОЖЕСТВА ЖЮЛИА С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ ИТЕРАЦИИ)

Назначение: строит множество Жюлиа для .

Вход;

Выход:

изображение множества Жюлиа

Инициализация:

графический экран для окна

Шаги

Комментарий. Если , тогда «построить z» означает, что надо отобразить отдельные точки .

Комментарий. Если , то определим

На рис. 8.9, 8.10, 8.11 приведены множества Жюлиа, полученные с помощью алгоритма 8.2.2.