Приложение Б. Теория ренормализации и фракталы Пуанкаре

Б.1. Теория ренормализации

Не затрагивая общую теорию бифуркаций, рассмотрим бифуркации удвоения периода. Необходимость такого рассмотрения основывается на том, что: во-первых, аттрактор Фейгенбаума положил начало новому направлению в динамике малых размерностей, называемому ренормализацией и, во-вторых, сама процедура ренормализации или универсального масштабирования (universal scaling), возникшая в физике (перенормирумые теории) и обработке сигналов (теория уэйвлетов), позволяет выяснить, когда и при каких условиях рассматриваемая теория обладает свойством универсальности, то есть когда самоподобие (основное свойство фракталов) и бифуркации удвоения периода, появляющиеся бесконечными каскадами в простых семействах отображений [60] (например, в квадратичном семействе), имеют нетривиальное пересечение.

Данное учебное пособие является первой попыткой совместного изложения теории фракталов и хаотической динамики. За двадцатилетие, прошедшее после открытия универсальности Фейгенбаума, теория ренормализации пополнилась новыми красивыми и нетривиальными результатами, которые и рассматриваются ниже.

Переход от циклического поведения к хаотическому называется сценарием Фейгенбаума. Как уже говорилось в п. 6.3, в логистическом отображении

где , представляющем собой квадратичное семейство, это связано с тем, что устойчивая неподвижная точка теряет устойчивость и порождает устойчивую орбиту периода два, которая в свою очередь теряет устойчивость и порождает устойчивую орбиту периода четыре и т. д.

М. В. Якобсон [70] первый доказал существование таких каскадов в простом аналитическом семействе. Фейгенбаум в своей работе 1978 г. с помощью численных методов (на микрокалькуляторе!) независимо определил асимптотическую скорость сходимости бифуркационных значений для квадратичного семейства и обнаружил (совместно с П. Цвитановичем) явление подобия с изменением масштаба, связанное с этим процессом. Наблюдения Фейгенбаума были доказаны в работах О. Лэнфорда и М. Кампанино, А. Эпштейна с помощью ЭВМ. Состояние теории ренормализации, опирающейся на доказательства, полученные с помощью вычислений на ЭВМ, подробно описано в обзоре [71]. Очень хорошее описание сценария Фейгенбаума для квадратичного семейства содержится в статье Каданова [72], а миниисследование по логистическому отображению с помощью математического пакета Maple [59] можно рекомендовать в качестве упражнения для получения бифуркационной диаграммы на ЭВМ.

Собственно математическая теория ренормализации со своей проблематикой и строгими доказательствами оформилась после появления статей А. Дуади и Дж. Хаббарда и Д. Сулливана [73] в середине 80-х, когда идеи голоморфной динамики, теории Тейхмюллера и гиперболической геометрии проникли в эту область. Современное состояние этой теории отражено в книгах Кертиса Мак Мюллена [76] и [77].

Ренормализация представляет собой поиск локальной полиномиальной модели динамики. Рассмотрим эту ситуацию подробнее в контексте квадратичных полиномов.

Пусть , где с принадлежит множеству Мандельброта. Итерации ренормализуемы, если существуют диски U и V, содержащие начало координат, причем U является компактным подмножеством V, такие, что есть отображение второй степени для всех Это означает, что, хотя является полиномом степени но в подходящей окрестности критической точки оно ведет себя как полином второй степени. Отображение называется подобным квадратичному. Фундаментальная теорема Дуади и Хаббарда (1985 г.) утверждает, что отображение, подобное квадратичному, топологически сопряжено с квадратичным полиномом условие (б) означает, что d принадлежит множеству Мандельброта М. и при подходящих нормализациях единственно.

Концепция ренормализации говорит многое о самоподобии множества Мандельброта и бифуркационной диаграммы (рис. 6.9 в основном тексте) для вещественных квадратичных полиномов. Например, при увеличении белой полосы в окрестности (так называемого окна периода 3) бифуркационной диаграммы мы наблюдаем ровно три малые копии полной бифуркационной диаграммы. Это обьясняется тем, что ренормализуемо для всех значений с в этом окне. По мере того как с пересекает это окно, отображение воспроизводит полное семейство бифуркаций квадратичного полинома. В множестве Мандельброта также можно наблюдать малую гомеоморфную копию М. в обрамлении при с, принимающем значения в этом окне на вещественной оси.

Сказанное выше наглядно поясняет название статьи Ли и Йорка «Период три означает хаос» [29] и связывает универсальность Фейгенбаума с периодичностью Шарковского. Каскады с удвоением периода обнаруживаются и в других вещественных динамических системах (например, в экспоненциальном семействе, рассмотренном впервые М. В. Якобсоном). Собственно, в работах Фейгенбаума и Колле и Трессе [75] было предложено обьяснение универсального закона масштабирования в однопараметрических семействах унимодальных отображений в терминах существования гиперболической неподвижной точки F оператора ренормализации с одномерным неустойчивым многообразием.

Следующий важный шаг был сделан в работе Йоккоза в начале 90-х. Эта работа установила комбинаторную жесткость всех квадратичных отображений, которые являются «по крайней мере конечно ренормализуемыми». Доказательство основывается на мощном техническом приеме, который носит название головоломка-мозаика (puzzle). Подробнее об этой технике можно прочитать в первой книге МакМюллена [77].

Бесконечная ренормализуемость.

Квадратичный полином является бесконечно ренормализуемым, если ренормализуемо для бесконечно многих

Основным примером бесконечной ренормализуемости отображения служит полином Фейгенбаума . В этом случае отображение является подобным квадратичному.

Из этого следует, что ренормализуемо при любом Аттрактор этого отображения (аттрактор Фейгенбаума):

Аттрактор Фейгенбаума обладает универсальным свойством масштабирования, которое физики ассоциируют с фазовыми переходами, исследуемыми уже не первое десятилетие [73].

Теорема Йоккоза формулируется следующим образом [83].

Теорема Б.1.1. Пусть — множество Мандельброта). Тогда возможны два варианта:

а) f бесконечно ренормализуемо;

б) не допускает инвариантного поля направлений (по invariant line field), а М локально связно в точке с.

Доказательство теоремы приведено в [77]. Обычно при доказательстве теоремы Йоккоза используется техника головоломки-мозаики для

Оператор ренормализации.

Рассмотрим вещественно-аналитическое унимодальное отображение отрезка в себя Непрерывное отображение отрезка в себя называется унимодальным, если внутри отрезка имеется точка экстремума со и по обе стороны от нее отображение является строго монотонным. Д. Зингер [61] показал, что у отображений отрезка в себя, удовлетворяющих условию отрицательности производной Шварца каждая устойчивая периодическая траектория притягивает либо траекторию одного из концов отрезка, либо траекторию некоторой критической точки с, то есть такой точки, в которой (Производной Шварца функции называется Отображение является подобным квадратичному, если имеет единственную квадратичную критическую точку со Основным примером служит на Мы неявно отождествляем линейно сопряженные отображения.

Если итерация также является квадратичноподобной для некоторого интервала L и , то в этом случае мы можем определить ренормализацию как

Порядок интервалов определяет перестановку на символах.

Как уже говорилось выше, отображение бесконечно ренормализуемо, если последовательность определена для всех . Комбинаторика отображения в этом случае отображается последовательностью перестановок Говорят, что обладает ограниченной комбинаторикой, если имеет место только конечное число перестановок и периодической комбинаторикой, если для некоторого

Теорема Б. 1.2. Пусть бесконечно ренормализуемо и обладает комбинаторикой периода q. Тогда экспоненциально при , где F — единственная неподвижная точка оператора ренормализации обладающего такой же комбинаторикой, что и

Например, полином Фейгенбаума получающийся в конце каскада удвоений периода в квадратичном семействе, имеет . При ренормализации сходится экспоненциально к решению функционального уравнения Цвитановича-Фейгенбаума (уравнение удвоения)

Константа Фейгенбаума является единственным собственным значением в разложений

Для того чтобы определить скорость сходимости более полно, расширим до комплексно-аналитического отображения на окрестности и положим, что обозначает максимальное аналитическое продолжение неподвижной точки ренормализации. Тогда мы обнаруживаем, что существует такое, что для любого компакта справедливо следующее

где соответствующим образом перенормирован.

Теперь предположим, что имеет ограниченную комбинаторику. При итерации все точки из I, за исключением счетного числа, притягиваются к посткритическому множеству Кантора

Теорема Б.1.3. Пусть — бесконечно ренормализуемые отображения с одной и той же ограниченной комбинаторикой. Тогда сопряжены с гладкостью

Таким образом, количественные характеристики аттрактора (такие, например, как его размерность Хаусдорфа) определяются его комбинаторикой

Сулливан [74] установил сходимость . Другой подход к теории ренормализации, основанный на таких понятиях как негибкость и башни, рассматривается во второй книге МакМюллена [76] и его статьях. В частности, в статье [78] приведены операторы ренормализации для гиперболических многобразий, критических отображений окружности и для диска Зигеля с золотым сечением.