§ 119. ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРЕМЫ МОМЕНТОВ К ДВИЖЕНИЮ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)

Рассмотрим опять (см. § 113) установившееся течение жидкости (газа) в трубке тока (или в трубе). Выделим в трубке объем жидкости 1—2, ограниченный сечениями который за промежуток времени переходит в положение 3—4 (рис. 301). Найдем, как за время изменится момент количеств движения этого объема жидкости относительно некоторого центра О. Рассуждая так же, как в § 113, придем к выводу, что это изменение определится равенством, аналогичным полученному при выводе формулы (23), т. е. что

где — моменты количеств движения жидкости в объемах 1—3 и 2—4 соответственно.

Для определения разобьем площадь сечения 1 на элементы . За промежуток времени через площадку в объем 1—3 войдет масса жидкости — секундный расход массы). Момент количества движения этой массы будет , где — радиус-вектор элемента — средняя скорость жидкости в сечении I. Тогда, вынося общие множители за скобки, получим

где - вектор центра тяжести площади сечения

Аналогично найдем, что , где обозначения очевидны. Тогда

Подставляя это значение в уравнение (35), получим

Равенство (39) можно еще представить в виде

При этом векторы и должны быть приложены в центрах тяжести площадей соответствующих сечений трубки тока (трубы).

Если величину назвать секундным моментом количеств движения жидкости относительно центра О, то теорему, выраженную равенством (39), можно сформулировать так (сравн. с § 113): разность секундных моментов количеств движения относительно центра О жидкости, протекающей через два поперечных сечения трубки тока (трубы), равна сумме моментов относительно того же центра всех внешних (массовых и поверхностных) сил, действующих на объем жидкости, ограниченный этими сечениями и поверхностью трубки тока (стенками трубы). При решении задач теорема позволяет исключить из рассмотрения все внутренние силы, т. е. силы взаимных давлений частиц жидкости в объеме 1—2.

Рис. 301

Задача 135. В радиальной гидротурбине, у которой внешний радиус рабочего колеса а внутренний вода имеет на входе абсолютную скорость а на выходе — абсолютную скорость при этом векторы образуют с касательными к ободам колеса углы соответственно (рис. 302, где показан одни канал между двумя лопатками турбины). Полный секундный расход массы воды через турбину . Определить действующий на турбину момент относительно ее оси сил давления воды (ось Oz направлена перпендикулярно плоскости чертежа).

Решение. Воспользуемся уравнением (39) в проекции на ось считач движение воды плоским Так как в силу симметрии центр тяжести воды, заполняющей все каналы, лежит на оси , то момент массовых сил (сил тяжести) относительно этой оси равен нулю. Поверхностные внешние силы давления во входном и выходном сечениях направлены вдоль радиусов и моменты относительно оси тоже равны нулю. Таким образом, в правой части уравнения (39) сохранится только момент поверхностных сил давления на жидкость лопагок турбины. Поскольку искомый момент сил давления воды на лопагки турбины имеет противоположное направление, то из (39) в проекции ось получим

Рис. 302

Здесь полный расход воды через все каналы и поэтому будет искомым полным моментом. Из рис. 302 видно, что , аналогично Таким образом,

Примечание. По формуле (46) из § 87 мощность Если сила F действует на тело, вращающееся вокруг оси то (см.§ 122). Тогда, умножив обе части равенства (а) на и учтя, что где — окружная скорость на внешнем, а на внутреннем ободе колсса турбины, получим

Это уравнение, устанавливающее зависимость между основными динамическими характеристиками турбины, называют турбинным уравнен Эйлера.