§ 80. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Решение задач динамики точки путем интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений движения сводится к следующим операциям.

1. Составление дифференциального уравнения движения. Для его составления в случае прямолинейного движения надо:

а) выбрать начало отсчета (как правило, совмещая его с начальным положением точки) и провести координатную ось, направляя ее вдоль траектории и, как правило, в сторону движения; если под действием приложенных сил точка может находиться в каком-нибудь положении в равновесии, то начало отсчета удобно помещать в положении статического равновесия;

б) изобразить двужущуюся точку в произвольном положении (но так, чтобы было последнее существенно, когда среди сил есть силы, зависящие от скорости) и показать все действующие на точку силы;

в) подсчитать сумму проекций всех сил на координатную ось и подставить эту сумму в правую часть дифференциального уравнения движения; при этом надо обязательно все переменные силы выразить через те величины (t, х или v), от которых эти силы зависят.

2. Интегрирование дифференциального уравнения движения. Интегрирование производится методами, известными из курса высшей математики и зависящими от вида полученного уравнения, т. е. от вида его правой части.

В тех случаях, когда на точку кроме постоянных сил действует одна переменная сила, зависящая только от времени t или только от расстояния или же только от скорости v, уравнение прямолинейного движения можно проинтегрировать методом разделения переменных (см. задачи 91—93). Если при этом в задаче требуется определить только скорость, то часто можно при решении ограничиться интегрированием одного из уравнений (13) или (14).

3. Определение постоянных интегрирования. Для определения постоянных интегрирования надо по данным задачи установить начальные условия в виде (16). Значения постоянных по начальным условиям находятся так, как это было показано в задаче 90. При этом постоянные можно определять непосредственно после каждого интегрирования.

Если дифференциальное уравнение движения является уравнением с разделяющимися переменными, то вместо введения постоянных интегрирования можно брать сразу от обеих частей равенства определенные интегралы в соответствующих пределах; пример такого расчета дан в задаче 93.

4. Нахождение искомых в задаче величин и исследование полученных результатов. Чтобы иметь возможность исследовать решение, а также произвести косвенную проверку результата подсчетом размерностей, надо все решение проводить до конца в общем виде (в буквах), подставляя числовые данные только в окончательные результаты.

Сделанные здесь указания относятся и к случаю криволинейного движения.

Рассмотрим три конкретные задачи, в которых сила зависит от времени, от расстояния и от скорости точки.

1. Сила зависит от времени

Задача 91. Груз весом Р начинает двигаться из состояния покоя вдоль гладкой горизонтальной плоскости под действием силы F, значение которой растет пропорционально времени по закону . Найти закон движения груза.

Решение. Выберем начало отсчета О в начальном положении груза и направим ось в сторону движения (рис. 216). Тогда начальные условия будут: при Изображаем в произвольном положении груз и действующие на него силы F, Р (сила тяжести) и N (реакция плоскости). Проекции этих сил на ось имеют значения и уравнение (13) примет вид

Рис. 216

Умножив обе части этого равенства на мы сразу разделим переменные и, интегрируя, получим

Подставляя сюда начальные данные, найдем, что Тогда, заменяя в полученном результате на представим его в виде

Умножая обе части этого равенства на опять разделим переменные и, интегрируя, найдем

Подстановка начальных данных дает и окончательно получаем закон движения груза в виде

Таким образом, проходимый грузом путь будет расти пропорционально кубу времени.

2. Сила зависит от расстояния

Задача 92. Пренебрегая трением и сопротивлением воздуха, определить, в течение какого промежутка времени тело пройдет по прорытому сквозь Землю вдоль хорды АВ каналу от его начала А до конца В (рис. 217). При подсчете считать радиус Земли км.

Рис. 217

Указани е. В теории притяжения доказывается, что тело, находящееся внутри Земли, притягивается к ее центру с силой F, прямо пропорциональной расстоянию до этого центра.

Принимая во внимание, что при (т. е. на поверхности Земли) сила F равна силе тяжести получим, что внутри Земли

где — расстояние от точки М до центра Земли.

Решение. Поместим начало отсчета О в середине хорды АВ (в этой точке тело, находящееся в канале, было бы в равновесии) и направим ось вдоль линии ОА. Если обозначить длину хорды АВ через , то начальные условия задачи будут: при

В произвольном положении на тело действуют силы F и N. Следовательно,

так как из чертежа видно, что .

Действующая сила оказалась зависящей от координаты точки М. Чтобы в этом случае в дифференциальном уравнении движения разделились переменные, составим его в виде (14). Тогда сокращая на и вводя обозначение

получим

Умножая обе части этого равенства на сразу разделяем переменные и, интегрируя, находим

По начальным условиям при . Следовательно, Подставляя это значение получаем

Считая, что в рассматриваемом положении скорость направлена от М к О, т. е. что берем перед корнем знак минус (легко, однако, проверить, что тот же окончательный результат получится и при знаке плюс). Тогда, заменяя vx на dx/dt, найдем, что

Разделяя переменные, приведем это уравнение к виду

и, интегрируя, получим

Подставляя сюда начальные данные (при ), находим, что Окончательно закон движения тела в канале будет иметь вид

Следовательно, тело будет совершать в канале АВ гармонические колебания с амплитудой а.

Найдем теперь время движения тела до конца В канала. В точке В координата . Подставляя это значение в уравнение движения, получим , откуда Но по введенному обозначению . Отсюда, произведя подсчет, находим, что время движения по каналу АВ при условиях задачи не зависит от его длины и всегда равно

Этот очень интересный результат породил ряд (пока еще фантастических) проектов прорытия такого канала.

Найдем дополнительно, чему будет равна при движении максимальная скорость тела. Из выражения для видно, что при , т. е. в точке О. Следовательно,

Если, например, (приблизительно расстояние от Москвы до Ленинграда), то

Колебания, совершаемые материальной точкой под действием силы, пропорциональной расстоянию, будут подробнее изучены в гл. XIX. Там будет рассмотрен другой метод интегрирования получающихся в этом случае дифференциальных уравнений движения.

3. Сила зависит от скорости

Задача 93. Лодку, масса которой , толкают, сообщая ей начальную скорость Считая, силу сопротивления: веяв» при малых скоростях изменяющейся по закону (7), т. а. считая , где коэффициент определить, через сколько времени скорость лодки уменьшится вдвое и какой она за это время пройдет путь. Найти также, какой путь пройдет лодка до полной остановки.

Рис. 218

Решение. Совместим начало отсчета О с начальным положением лодки и направим ось Ох в сторону движения (рис. 218). Тогда начальные условия будут: при Изображаем в произвольном положении лодку и действующие на нее силы R.

Примечание. Никакие другие силы на лодку не действуют. Сила, сообщившая лодке толчок, действовала на лодку до момента . Результат этого действия учитывается заданием начальной скорости , которую сила за время толчка сообщила лодке (см. § 79.) Чтобы правильно определить, какие силы действительно действуют на тело при его движении, надо помнить, что сила есть результат взаимодействия данного тела с другими телами. В данном случае сила тяжести Р является результатом действия на лодку Земли, а силы N и R — результат действия на лодку воды Никакие другие материальные тела с лодкой при ее движении не взаимодействуют, значит, никаких других действующих сил нет. Обращаем внимание на этот вопрос, так как он часто является источником ошибок при решении задач.

Вычисляя проекции действующих сил, находим, что

Для определения времени движения составляем дифференциальное уравнение (13), Замечая, что в данном случае получим

Проинтегрируем это уравнение, беря от обеих его частей после разделения переменных соответствующие определенные интегралы. При этом нижним пределом каждого из интегралов будет значение переменного интегрирования в начальный момент, а верхним — значение того же переменного в произвольный момент времени.

По условиям данной задачи при и, следовательно,

Отсюда окончательно

Искомое время определим, полагая . Это время, как видим, не зависит в данном случае от величины Так как то

Для определения пройденного пути целесообразно вновь составить дифференциальное уравнение движения в виде (14), так как это уравнение позволяет сразу установить зависимость между х и v, Тогда получим

Отсюда, сокращая на v, разделяя переменные и учитывая, что при получим

Следовательно,

Полагая найдем искомый путь: .

Чтобы найти путь, пройденный лодкой до остановки, следует в равенстве (б) положить Тогда получим, что

Определяя время движения до остановки, мы из равенства (а) найдем, что при время Это означает, что при принятом законе сопротивления лодка будет к своему конечному положению (определяемому координатой ) приближаться асимптотически. Фактически же время движения лодки до остановки будет конечным, так как с уменьшением скорости закон сопротивления становится другим и соответственно изменяется вид зависимости v от t (см, например, задачу 105 в § 90).

Другой интересный пример движения под действием силы, зависящей от скорости, рассмотрен в следующем параграфе.