Научная библиотека

Глава XI. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 52. УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ (ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ). РАЗЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости П (рис. 141). Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипно-ползунном механизме и др. Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Рис. 141

Рис. 142

Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскостью параллельной плоскости П (рис. 141). При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой ММ, перпендикулярной сечению S, т. е. плоскости П, движутся тождественно.

Отсюда заключаем, что для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется в плоскости сечение S этого тела или некоторая плоская фигура S. Поэтому в дальнейшем вместо плоского движения тела будем рассматривать движение плоской фигуры S в ее плоскости, т. е. в плоскости При этом все результаты, которые будут получены в § 53—59 для точек плоской фигуры, справедливы, конечно, и для точек сечения S твердого тела, движущегося плоскопараллельно.

Положение фигуры S в плоскости определяется положением какого-нибудь проведенного на этой фигуре отрезка АВ (рис. 142). В свою очередь положение отрезка АВ можно определить, зная координаты точки А и угол который отрезок АВ образует с осью Точку А, выбранную для определения положения фигуры S, будем в дальнейшем называть полюсом.

При движении фигуры величины будут изменяться.

Чтобы знать закон движения, т. е. положение фигуры в плоскости в любой момент времени, надо знать зависимости

Уравнения (50), определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

Первые два из уравнений (50) определяют то движение, которое фигура совершала бы при это, очевидно, будет поступательное движение, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А. Третье уравнение определяет движение, которое фигура совершала бы при т. е. когда полюс А неподвижен; это будет вращение фигуры вокруг полюса А. Отсюда можно заключить, что в общем случае движение плоской фигуры в ее плоскости может рассматриваться как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А, и из вращательного движения вокруг этого полюса

Рис. 143

Основными кинематическими характеристиками рассматриваемого движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса а также угловая скорость со и угловое ускорение вращательного движения вокруг полюса. Значения этих характеристик в любой момент времени t можно найти, воспользовавшись уравнениями (50).

При изучении движения можно в качестве полюса выбирать любую точку фигуры. Рассмотрим, что получится, если вместо А выбрать в качестве полюса какую-нибудь другую точку С и определять положение фигуры отрезком CD, образующим с осью угол (рис. 143). Характеристики поступательной части движения при этом изменятся, так как в общем случае (иначе движение фигуры было бы поступательным). Характеристики же вращательной части движения, т. е. , остаются неизменными. В самом деле, проведя из С прямую параллельную АВ, мы видим, что в любой момент времени угол где Отсюда или

Следовательно, вращательная часть движения от выбора полюса не зависит.