§ 96. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС

Рассмотрим важный случай колебаний, возникающих когда на точку кроме восстанавливающей силы F действует еще периодически изменяющаяся со временем сила Q, проекция которой на ось равна

Эта сила называется возмущающей силой, а колебания, происходящие при действии такой силы, называются вынужденными. Величина в равенстве (83) является частотой возмущающей силы.

Возмущающей силой может быть сила, изменяющаяся со временем и по другому закону. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда определяется равенством (83). Такая возмущающая сила называется гармонической. Конкретный пример ее дан ниже в задаче 117.

1. Вынужденные колебания при отсутствии сопротивления. Рассмотрим движение точки, на которую кроме восстанавливающей силы F (см. рис. 253) действует только возмущающая сила Q. Дифференциальное уравнение движения в этом случае будет

Разделим обе части этого уравнения на и положим

где имеет размерность ускорения. Тогда дифференциальное уравнение движения примет вид

Уравнение (85) является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний точки при отсутствии сопротивления. Его решением, как известно из теории дифференциальных уравнений, будет где — общее решение уравнения без правой части, т. е. решение уравнения (67), даваемое равенством (69), а — какое-нибудь частное решение полного уравнения (85).

Полагая, что будем искать решение в виде

где В — постоянная величина, которую надо подобрать так, чтобы равенство (85) обратилось в тождество. Подставляя значение и его второй производной в уравнение (85), получим

Это равенство будет выполняться при любом t, если или

Таким образом, искомое частное решение будет

Так как , а значение дается равенством (69), то общее решение уравнения (85) имеет окончательно вид

где А и а — постоянные интегрирования, определяемые по начальным данным. Решение (87) показывает, что колебания точки слагаются в этом случае из: 1) колебаний с амплитудой А (зависящей от начальных условий) и частотой k, называемых собственными колебаниями, 2) колебаний с амплитудой В (не зависящей от начальных условий) и частотой , которые называются вынужденными колебаниями.

Практически, благодаря неизбежному наличию тех или иных сопротивлений, собственные колебания будут довольно быстро затухать. Поэтому основное значение в рассматриваемом движении имеют вынужденные колебания, закон которых дается уравнением (86).

Частота вынужденных колебаний, как видно, равна частоте возмущающей силы. Амплитуду этих колебаний, если разделить числитель и знаменатель на , можно представить в виде

где согласно равенствам есть величина статического отклонения точки под действием силы

Как видим, В зависит от отношения частоты возмущающей силы к частоте k собственных колебаний. Введем обозначения

Безразмерный коэффициент называют коэффициентом динамичности. Он показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний В (т. е. максимальное отклонение точки от центра колебаний) больше статического отклонения , и зависит от отношения частот . График этой зависимости, определяемой равенством (88), показан ниже на рис. 264 кривой, помеченной знаком (другие кривые на рис. 264 дают зависимость от z при наличии сопротивления).

Из графика [или из формулы (88)] видно, что, подбирая различные соотношения между , можно получить вынужденные колебания с разными амплитудами. При ) амплитуда равна (или близка к этой величине). Если величина близка к k, амплитуда В становится очень большой. Наконец, когда амплитуда В становится очень малой (практически близка к нулю).

Отметим еще, что при как видно из сравнения формул (83) и (86), фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы все время совпадают (обе равны ). Если то, внося минус под знак синуса, можно представить уравнение (86) в виде

Следовательно, при сдвиг между фазами вынужденных колебаний и возмущающей силы равен я (когда сила Q имеет максимальное значение и направлена вправо, колеблющаяся точка максимально смещена влево и т. д.).

Резонанс. В случае, когда т. е. когда частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, имеет место так называемое явление резонанса. Формулами (86), (88) этот случай не описывается, но можно доказать, что размахи вынужденных колебаний при резонансе будут со временем неограниченно возрастать так, как это показано на рис. 262. Подробнее общие свойства вынужденных колебаний в частности, резонанса) рассмотрены в конце этого параграфа

Рис. 262

При уравнение (85) частного решения не имеет, и это решение будем искать в виде

Тогда и подстановка в уравнение (85), если учесть, что дает , откуда . В результате находим закон вынужденных колебаний при резонансе в случае отсутствия сопротивления:

Как видим, размахи вынужденных колебаний при резонансе действительно возрастают пропорционально времени, и закон этих колебаний имеет вид, показанный на рис. 262. Сдвиг фаз при резонансе равен

Вынужденные колебания при вязком сопротивлении. Рассмотрим движение точки, на которую действуют восстанавливающая сила F, сила сопротивления R, пропорциональная скорости (см. § 95), и возмущающая сила Q, определяемая формулой (83). Дифференциальное уравнение этого движения имеет вид

Деля обе части уравнения на m и учитывая обозначения (77) и (84), получим

Уравнение (91) является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний точки при наличии вязкого сопротивления. Его общее решение, как известно, имеет вид , где — общее решение уравнения без правой части, т. е. уравнения (76) [при это решение дается равенством (81)], а — какое-нибудь частное решение полного уравнения (91). Будем искать решение в виде

где — постоянные, которые надо подобрать так, чтобы равенство (91) обратилось в тождество. Вычисляя производные, получим:

Подставляя эти значения производных и величины в левую часть уравнения (91) и обозначая для краткости найдем, что

Чтобы это равенство выполнялось при любом , т. е. в любой момент времени, коэффициенты при в левой и правой частях должны быть порознь равны друг другу; следовательно,

Из полученных уравнений (ими также пользуются для однозначного определения величины ) находим, возводя их сначала почленно в квадрат и складывая, а затем деля почленно друг на друга:

Так как а значение дается равенством (81), то окончательно найдем решение уравнения (91) в виде

где А и а — постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям, а значения В и [3 даются формулами (92) и от начальных условий не зависят.

При найденные решения дают формулы (86) и (87), полученные выше для случая отсутствия сопротивления.

Рассматриваемые колебания являются сложными и слагаются из собственных (первое слагаемое в равенстве (93), рис. 263, а) и вынужденных (второе слагаемое в равенстве (93), рис. 263, б). Собственные колебания точки для рассматриваемого случая были изучены в § 95. Как было установлено, эти колебания довольно быстро затухают и по истечении некоторого промежутка времени называемого временем установления, ими практически можно пренебречь.

Рис. 263

Если, например, считать, что собственными колебаниями можно пренебречь, начиная с момента, когда их размахи будут меньше 0,01 В, то величина будет определяться из равенства , откуда

Как видим, чем меньше сопротивление (т. е. чем меньше b), тем время установления больше.

Одна из возможных картин установления колебаний, происходящих по закону (93) и начинающихся из состояния покоя, показана на рис. 263, в. При других начальных условиях и соотношениях между частотами характер колебаний в интервале времени может оказаться совершенно другим. Однако во всех случаях по истечении времени установления собственные колебания практически затухают и точка будет совершать колебания по закону

Эти колебания и называются вынужденными. Они представляют собой незатухающие гармонические колебания с амплитудой В, определяемой равенством (92), и частотой р, равной частоте возмущающей силы. Величина Р характеризует сдвиг фазы вынужденных колебаний по отношению к фазе возмущающей силы.

Исследуем полученные результаты. Введем обозначения:

где z — отношение частот; h — величина, характеризующая сопротивление; — величина статического отклонения точки под действием силы (например, при колебаниях груза на пружине равно статическому удлинению пружины, вызываемому силой ).

Тогда, деля числитель и знаменатель равенств (92) на получим:

Из формул (97) видно, что зависят от двух безразмерных параметров z и k. Для большей наглядности вид этой зависимости при некоторых значениях h показан на графиках. На первом графике (рис. 264) даны зависимости коэффициента динамичности (показывающего, во сколько раз амплитуда В больше ) от отношения частот , а на втором (рис. 265) — зависимости сдвига фаз тоже от . В каждой конкретной задаче по ее данным можно вычислить величины и найти значения , пользуясь соответствующими графиками или формулами (97). Из этих графиков (или формул) видно также, что, меняя соотношение между и k, можно получать вынужденные колебания с разными амплитудами.

Рис. 264

Рис. 265

Когда сопротивление очень мало, а величина z не близка к единице, в формулах (97) можно приближенно считать

Тогда будем иметь результаты, полученные в п. 1, а именно:

Рассмотрим еще следующие частные случаи.

1. Если отношение частот очень мало , то, полагая приближенно 0, получим из формулы . Колебания в этом случае происходят с амплитудой, равной статическому отклонению ко, и сдвигом фаз

2. Если отношение частот очень велико величина В становится малой. Этот случай представляет особый интерес для проблем виброзащиты различных сооружений, приборов и др. При этом, считая сопротивление малым и пренебрегая в и единицей по сравнению с можно получить для подсчета В приближенную формулу

3. Во всех практически интересных случаях величина h много меньше единицы. Тогда, как видно из (97), если величина близка к единице, амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума. Явление, которое при этом имеет место, называется резонансом.

Из формулы (97) видно, что когда стоящая в знаменателе величина имеет минимум. Решая уравнение найдем, что В имеет максимум при т. е. при Следовательно, резонанс имеет место, когда немного меньше единицы. Но практически, пренебрегая величиной по сравнению с единицей, можно считать, что При немалых h резонанс выражен слабо (амплитуда невелика, см. рис. 264), а при резонанс, как видно из выражения для и из рис. 264, вообще не возникает.

При резонансе амплитуду вынужденных колебаний и сдвиг фаз можно практически вычислять по приближенным формулам, которые получаются из равенств (97), если в них положить

Отсюда видно, что при малых h величина может достигать довольно больших значений.

Колебания с амплитудой как и вообще вынужденные колебания, устанавливаются при резонансе не сразу. Процесс установления колебаний будет аналогичен показанному на рис. 263, в. Чем меньше сопротивление, т. е. чем меньше b или h, тем больше величина ; но одновременно будет больше и время установления этих колебаний [см. формулу (94)].

Когда сопротивление отсутствует, т. е. то, как было установлено, закон вынужденных колебаний при резонансе дается уравнением (89), а график колебаний имеет вид, показанный на рис. 262. Таким образом, в случае отсутствия сопротивления процесс «раскачки» системы при резонансе длится неограниченно долго, а размахи колебаний со временем непрерывно возрастают. Аналогичной будет картина резонансных колебаний при очень малых сопротивлениях.

3. Общие свойства вынужденных колебаний. Из полученных выше результатов вытекает, что вынужденные колебания обладают следующими важными свойствами, отличающими их от собственных колебаний точки: 1) амплитуда вынужденных колебаний от начальных условий не зависит; 2) вынужденные колебания при наличии сопротивления не затухают; 3) частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы и от характеристик колеблющейся системы не зависит (возмущающая сила «навязывает» системе свою частоту колебаний);

4) даже при малой возмущающей силе ( мало) можно получить интенсивные вынужденные колебания, если сопротивление мало, а частота близка к k (резонанс); 5) даже при больших значениях возмущающей силы вынужденные колебания можно сделать сколь угодно малыми, если частота будет много больше

Вынужденные колебания и, в частности, резонанс играют большую роль во многих областях физики и техники. Например, при работе машин и двигателей обычно возникают периодические силы, которые могут вызвать вынужденные колебания частей машины или фундамента.

Процесс изменения амплитуды этих колебаний можно проследить, заставляя работать на разных оборотах двигатель, для которого , где — угловая скорость (см. задачу 117). С увеличением и амплитуда В колебаний вибрирующей части (или фундамента) будет возрастать. Когда наступает резонанс и размахи вынужденных колебаний достигают максимума. При дальнейшем увеличении и амплитуда В убывает, а когда станет значение В будет практически равно нулю. Во многих инженерных сооружениях явление резонанса крайне нежелательно и его следует избегать, подбирая соотношение между частотами и k так, чтобы амплитуды вынужденных колебаний были практически равны нулю

Противоположный пример мы имеем в радиотехнике, где резонанс оказывается очень полезным и используется для отделения сигналов одной радиостанции от сигналов всех остальных (настройка приемника).

На теории вынужденных колебаний основывается также конструирование ряда приборов, например вибрографов — приборов для измерения смещений колеблющихся тел (фундаментов, частей машин и др.) и, в частности, сейсмографов, записывающих колебания земной коры, и т. п.

Задача 117. Балка, на которой установлен мотор, прогибается от его веса на см. При каком числе оборотов вала мотора в минуту наступит резонанас?

Решение. Из формулы (75) следует, что период собственных колебаний балки

Если центр тяжести С вала мотора смещен от оси О, то на мотор будет действовать передаваемая через подшипники вала сила Q, направленная вдоль ОС (рис. 266; такие силы рассматриваются в § 136). Проекция силы Q на ось равная ( — угловая скорость вала), и будет возмущающей силой, действующей на мотор; частота этой силы . Следовательно, период вынужденных колебаний

Резонанс наступит, когда т. е. при

Отсюда критическое число оборотов

Рабочее число оборотов вала мотора должно быть значительно больше

Задача 118. Исследовать вынужденные колебания груза 1 массы , подвешенного на пружине с коэффициентом жесткости с, если верхний конец D пружины совершает вертикальные колебания по закону

Решение. Поместим начало координат 0 в положение статического равновесия груза и направим ось по вертикали вниз (рис. 267). Если обозначить длину недеформированиой пружины через 10, то ее длина в произвольный момент времени будет а удлинение Тогда действующая на груз сила упругости и составляя дифференциальное уравнение движения груза, будем иметь (так как ):

Отсюда, вводя обозначение получим

Следовательно, груз будет совершать вынужденные колебания, так как полученное уравнение совпадает с уравнением (85) или уравнением (91), если в нем считать Из равенств (96) видно, что в данном случае Амплитуда вынужденных колебаний и сдвиг фаз определяются формулами (98).

Если (верхний конец пружины колеблется очень медленно), то а сдвиг фаз

Рис. 266

Рис. 267

Груз будет при этом колебаться так, как если бы пружина была жестким стержнем, что физически и соответствует условию . При наступает резонанс, и размахи колебаний начнут сильно возрастать. Если частота станет больше то груз будет колебаться так, что когда конец D пружины идет вверх, груз будет опускаться вниз и наоборот (сдвиг фаз ); амплитуда же колебаний будет тем меньше, чем больше . Наконец, когда будет много больше , амплитуда Груз при этом будет оставаться в положении статического равновесия (в точке О), хотя верхний конец пружины и совершает колебания с амплитудой (частота этих колебаний столь велика, что груз как бы не успевает за ними следовать).

4. Электродинамические аналогии. Схожесть законов ряда колебательных процессов, рассматриваемых в разных областях физики, отмеченная в начале § 94, объясняется тем, что колебания в этих случаях описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями. Рассмотрим в качестве примера электрический контур, состоящий из последовательно соединенных катушки с индуктивностью L, омического сопротивления R, конденсатора с емкостью С и источника переменной электродвижущей силы (рис. 268).

Тогда, исходя из второго закона Кирхгофа, можно установить, что заряд q конденсатора удовлетворяет дифференциальному уравнению

Сравним это уравнение с уравнением (90), в котором для общности будем считать, что вместо стоит видим, что тогда оба уравнения совпадают с точностью до обозначений. Следовательно, закон рассмотренных выше механических колебаний и закон изменения заряда конденсатора аналогичны. При этом, сравнивая уравнения (90) и (101), найдем, что аналогами являются: 1) для смещения (координаты) — заряд для массы — индуктивность L; 3) для коэффициента вязкого сопротивления — омическое сопротивление для коэффициента жесткости с — величина обратная емкости; 5) для возмущающей силы О - э. д. с. Е.

Рис. 268

Эта аналогия, естественно, относится не только к вынужденным, но и к свободным (затухающим и незатухающим) колебаниям. Например, для периода собственных затухающих электрических колебаний в рассматриваемой цепи по формулам (77) и (82) из § 95 получим:

Когда омическое сопротивление отсутствует,

Электродинамические аналогии используются для моделирования соответствующих механических колебаний, в частности и в электронных аналоговых машинах.