1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406
Макеты страниц
§ 96. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНСРассмотрим важный случай колебаний, возникающих когда на точку кроме восстанавливающей силы F действует еще периодически изменяющаяся со временем сила Q, проекция которой на ось Эта сила называется возмущающей силой, а колебания, происходящие при действии такой силы, называются вынужденными. Величина Возмущающей силой может быть сила, изменяющаяся со временем и по другому закону. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда 1. Вынужденные колебания при отсутствии сопротивления. Рассмотрим движение точки, на которую кроме восстанавливающей силы F (см. рис. 253) действует только возмущающая сила Q. Дифференциальное уравнение движения в этом случае будет Разделим обе части этого уравнения на где Уравнение (85) является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний точки при отсутствии сопротивления. Его решением, как известно из теории дифференциальных уравнений, будет Полагая, что где В — постоянная величина, которую надо подобрать так, чтобы равенство (85) обратилось в тождество. Подставляя значение Это равенство будет выполняться при любом t, если Таким образом, искомое частное решение будет Так как где А и а — постоянные интегрирования, определяемые по начальным данным. Решение (87) показывает, что колебания точки слагаются в этом случае из: 1) колебаний с амплитудой А (зависящей от начальных условий) и частотой k, называемых собственными колебаниями, 2) колебаний с амплитудой В (не зависящей от начальных условий) и частотой Практически, благодаря неизбежному наличию тех или иных сопротивлений, собственные колебания будут довольно быстро затухать. Поэтому основное значение в рассматриваемом движении имеют вынужденные колебания, закон которых дается уравнением (86). Частота где согласно равенствам Как видим, В зависит от отношения частоты Безразмерный коэффициент Из графика [или из формулы (88)] видно, что, подбирая различные соотношения между Отметим еще, что при Следовательно, при Резонанс. В случае, когда Рис. 262 При Тогда Как видим, размахи вынужденных колебаний при резонансе действительно возрастают пропорционально времени, и закон этих колебаний имеет вид, показанный на рис. 262. Сдвиг фаз при резонансе равен Вынужденные колебания при вязком сопротивлении. Рассмотрим движение точки, на которую действуют восстанавливающая сила F, сила сопротивления R, пропорциональная скорости (см. § 95), и возмущающая сила Q, определяемая формулой (83). Дифференциальное уравнение этого движения имеет вид Деля обе части уравнения на m и учитывая обозначения (77) и (84), получим Уравнение (91) является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний точки при наличии вязкого сопротивления. Его общее решение, как известно, имеет вид где Подставляя эти значения производных и величины Чтобы это равенство выполнялось при любом Из полученных уравнений (ими также пользуются для однозначного определения величины Так как где А и а — постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям, а значения В и [3 даются формулами (92) и от начальных условий не зависят. При Рассматриваемые колебания являются сложными и слагаются из собственных (первое слагаемое в равенстве (93), рис. 263, а) и вынужденных (второе слагаемое в равенстве (93), рис. 263, б). Собственные колебания точки для рассматриваемого случая были изучены в § 95. Как было установлено, эти колебания довольно быстро затухают и по истечении некоторого промежутка времени Рис. 263 Если, например, считать, что собственными колебаниями можно пренебречь, начиная с момента, когда их размахи будут меньше 0,01 В, то величина Как видим, чем меньше сопротивление (т. е. чем меньше b), тем время установления больше. Одна из возможных картин установления колебаний, происходящих по закону (93) и начинающихся из состояния покоя, показана на рис. 263, в. При других начальных условиях и соотношениях между частотами Эти колебания и называются вынужденными. Они представляют собой незатухающие гармонические колебания с амплитудой В, определяемой равенством (92), и частотой р, равной частоте возмущающей силы. Величина Р характеризует сдвиг фазы вынужденных колебаний по отношению к фазе возмущающей силы. Исследуем полученные результаты. Введем обозначения: где z — отношение частот; h — величина, характеризующая сопротивление; Тогда, деля числитель и знаменатель равенств (92) на Из формул (97) видно, что Рис. 264 Рис. 265 Когда сопротивление очень мало, а величина z не близка к единице, в формулах (97) можно приближенно считать Тогда будем иметь результаты, полученные в п. 1, а именно: Рассмотрим еще следующие частные случаи. 1. Если отношение частот 2. Если отношение частот 3. Во всех практически интересных случаях величина h много меньше единицы. Тогда, как видно из (97), если величина Из формулы (97) видно, что При резонансе амплитуду вынужденных колебаний и сдвиг фаз можно практически вычислять по приближенным формулам, которые получаются из равенств (97), если в них положить Отсюда видно, что при малых h величина Колебания с амплитудой Когда сопротивление отсутствует, т. е. 3. Общие свойства вынужденных колебаний. Из полученных выше результатов вытекает, что вынужденные колебания обладают следующими важными свойствами, отличающими их от собственных колебаний точки: 1) амплитуда вынужденных колебаний от начальных условий не зависит; 2) вынужденные колебания при наличии сопротивления не затухают; 3) частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы и от характеристик колеблющейся системы не зависит (возмущающая сила «навязывает» системе свою частоту колебаний); 4) даже при малой возмущающей силе ( Вынужденные колебания и, в частности, резонанс играют большую роль во многих областях физики и техники. Например, при работе машин и двигателей обычно возникают периодические силы, которые могут вызвать вынужденные колебания частей машины или фундамента. Процесс изменения амплитуды этих колебаний можно проследить, заставляя работать на разных оборотах двигатель, для которого Противоположный пример мы имеем в радиотехнике, где резонанс оказывается очень полезным и используется для отделения сигналов одной радиостанции от сигналов всех остальных (настройка приемника). На теории вынужденных колебаний основывается также конструирование ряда приборов, например вибрографов — приборов для измерения смещений колеблющихся тел (фундаментов, частей машин и др.) и, в частности, сейсмографов, записывающих колебания земной коры, и т. п. Задача 117. Балка, на которой установлен мотор, прогибается от его веса на Решение. Из формулы (75) следует, что период собственных колебаний балки Если центр тяжести С вала мотора смещен от оси О, то на мотор будет действовать передаваемая через подшипники вала сила Q, направленная вдоль ОС (рис. 266; такие силы рассматриваются в § 136). Проекция силы Q на ось Резонанс наступит, когда Отсюда критическое число оборотов Рабочее число оборотов вала мотора должно быть значительно больше Задача 118. Исследовать вынужденные колебания груза 1 массы Решение. Поместим начало координат 0 в положение статического равновесия груза и направим ось Отсюда, вводя обозначение Следовательно, груз будет совершать вынужденные колебания, так как полученное уравнение совпадает с уравнением (85) или уравнением (91), если в нем считать Если (верхний конец пружины колеблется очень медленно), то Рис. 266 Рис. 267 Груз будет при этом колебаться так, как если бы пружина была жестким стержнем, что физически и соответствует условию 4. Электродинамические аналогии. Схожесть законов ряда колебательных процессов, рассматриваемых в разных областях физики, отмеченная в начале § 94, объясняется тем, что колебания в этих случаях описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями. Рассмотрим в качестве примера электрический контур, состоящий из последовательно соединенных катушки с индуктивностью L, омического сопротивления R, конденсатора с емкостью С и источника переменной электродвижущей силы Тогда, исходя из второго закона Кирхгофа, можно установить, что заряд q конденсатора удовлетворяет дифференциальному уравнению Сравним это уравнение с уравнением (90), в котором для общности будем считать, что вместо Рис. 268 Эта аналогия, естественно, относится не только к вынужденным, но и к свободным (затухающим и незатухающим) колебаниям. Например, для периода собственных затухающих электрических колебаний в рассматриваемой цепи по формулам (77) и (82) из § 95 получим: Когда омическое сопротивление отсутствует, Электродинамические аналогии используются для моделирования соответствующих механических колебаний, в частности и в электронных аналоговых машинах.
|
Оглавление
|