§ 17. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

При решении задач этого раздела следует иметь в виду все те общие указания, которые были сделаны в § 7.

Для получения более простых уравнений следует (если это только не усложняет ход расчета): а) составляя уравнения проекций, проводить координатную ось перпендикулярно какой-нибудь неизвестной силе; б) составляя уравнения моментов, брать центр моментов в точке, где пересекается больше неизвестных сил.

При вычислении моментов иногда бывает удобно разлагать данную силу на две составляющие и, пользуясь теоремой Вариньона, находить момент силы как сумму моментов этих составляющих (см. пример вычисления моментов сил в § 14).

Решение многих задач статики сводится к определению реакций опор, с помощью которых закрепляются балки, мостовые фермы и т. п. В технике обычно встречаются следующие три типа опорных закреплений (кроме рассмотренных в § 3):

1. Подвижная шарнирная опора (рис. 54, опора А). Реакция NA такой опоры направлена по нормали к поверхности, на которую опираются катки подвижной опоры.

2. Неподвижная шарнирная опора (рис. 54, опора В), Реакция RB такой опоры проходит через ось шарнира и может иметь любое направление в плоскости чертежа. При решении задач будем реакцию RB изображать ее составляющими и YB по направлениям координатных осей.

Если мы, решив задачу, найдем то тем самым будет определена и реакция по модулю

Способ закрепления, показанный на рис. 54, употребляется для того, чтобы в балке АВ не возникало дополнительных напряжений при изменении ее длины от изменения температуры или от изгиба.

3. Жесткая заделка (или неподвижная защемляющая опора; рис.

55, а). Рассматривая заделанный конец балки и стену как одно целое, жесткую заделку изображают так, как показано на рис. 55, б. В этом случае на балку в ее поперечном сечении действует со стороны заделанного конца система распределенных сил (реакций). Считая эти силы приведенными к центру А сечения, можно их заменить одной наперед неизвестной силой RA, приложенной в этом центре, и парой с наперед неизвестным моментом тА (рис. 55, а). Силу RA можно в свою очередь изобразить ее составляющими ХА и УА (рис. 55, б). Таким образом, для нахождения реакции жесткой заделки надо определить три неизвестные наперед величины .

Рис. 55

Рис. 56

Реакции других видов связей были рассмотрены в § 3.

Задача 18. Определить силы, с которыми давят на рельсы колеса А и В крана, схематически изображенного на рис. 56. Вес крана центр тяжести его лежнт на линии DE Вес поднимаемого груза вылет крана расстояние

Решение Рассмотрим равновесие всего крана На кран действуют заданные силы Р и Q и реакции связей N д и Для этой системы параллельных сил составляем условия равновесия (33), принимая за центр моментов точку А и проектируя силы на вертикальную ось. Получим.

Решая эти уравнения найдем:

Для проверки составим уравнение моментов относительно центра В

Подставляя сюда найденное значение , убеждаемся, что уравнение удовлетворяется Искомые силы давления колес на рельсы равны численно и NB, но направлены вниз.

Из найденного решения видно, что при реакция NA обращается в нуль и левое колесо перестает давить на рельс. При дальнейшем увеличении нагрузки Q кран начинает опрокидываться Наибольшая нагрузка Q, при которой сохраняется равновесие крана, определяется из условия где действующие на кран заданные силы (в данной задаче — силы тяжести).

Задача 19. Однородный брус АВ весом Р опирается концом А на гладкую горизонтальную плоскость и выступ D, а концом В — на наклонную плоскость, образующую с горизонтальной плоскостью угол (рис 57). I Сам брус наклонен под углом . Определить силы давления бруса на обе плоскости и выступ

Решение. Рассмотрим равновесие бруса АВ. На брус действуют: заданная сила Р, приложенная в середине бруса, и реакции связей направленные перпендикулярно соответствующим плоскостям. Проводим координатные оси (рис. 57) и составляем условия равновесия (29), беря моменты относительно центра А, где пересекаются две неизвестные силы. Предварительно вычисляем проекции каждой из сил на координатные оси и ее момент относительно центра А, занося эти величины в таблицу, при этом вводим обозначения: (АК — плечо силы R относительно центра А).

Рис. 57

Теперь составляем условия равновесия.

Из последнего уравнения находим

Так как прямая АК параллельна наклонной плоскости, то отсюда . Окончательно

Решая первые два уравнения, получим:

Силы давления на плоскости равны по модулю соответствующим реакциям и направлены противоположно этим реакциям.

Для проверки правильности вычисления величин можно составить уравнения моментов относительно точек, где пересекаются линии действия сил R и и сил R и

Задача 20. Симметричная арка (рис. 58) загружена системой сил, приводящейся к силе приложенной в точке D, и паре с моментом

Вес арки . Дано:

Определить реакции неподвижной шарнирной опоры В и подвижной опоры А.

Решение. Рассмотрим равновесие всей арки. На нее действуют заданные силы Р и Q, пара с моментом и реакции опор (реакцию неподвижной шарнирной опоры В изображаем двумя ее составляющими, как на рис. 54). В этой задаче удобнее воспользоваться условиями равновесия (30), беря моменты относительно точек А и В и проекции на ось Тогда в каждое уравнение войдет по одной неизвестной силе. Для определения моментов силы Q разложим ее на составляющие модули которых а, и воспользуемся теоремой Вариньона. Тогда получим:

(в) Решая эти уравнения, найдем:

Величина оказалась отрицательной. Следовательно, составляющая имеет направление, противоположное показанному на чертеже, что можно было предвидеть заранее. Полная реакция опоры В найдется как геометрическая сумма сил По модулю,

Рис. 58

Для проверки можно составить уравнение проекций на ось

Подставляя сюда найденные величины убеждаемся, что они этому уравнению удовлетворяют (подстановку следует делать и в общем виде, чтобы проверить формулы, и в числах, чтобы проверить численные расчеты).

Следует иметь в виду, что при такой проверке можно не обнаружить ошибок, связанных с неправильным определением проекций или моментов сил, перпендикулярных оси Поэтому надо или дополнительно проверить эту часть расчетов, или составить для проверки еще одно уравнение, например уравнение моментов относительно центра

Отметим еще следующее Как известно, при составлении условий (30) ось проекций надо направлять не перпендикулярно линии АВ, т. е. в нашем случае не вдоль Если, тем не менее, мы составили бы третье уравнение в проекциях на ось то получили бы систему уравнений (б), (в), (г), содержащую только два неизвестных и У в (в этой системе одно уравнение было бы следствием двух других). В результате мы не могли бы определить реакцию

Задача 21. Однородный брус АВ жестко заделан в стену, образуя с ней угол (рис. 59, а). Выступающая из стены часть бруса имеет длину и вес . Внутри угла DAB лежит цилиндр весом , касающийся бруса в точке Е, причем Определить реакцию заделки,

Решение. Рассмотрим равновесие бруса На брус действуют: сила Р, приложенная в середине бруса, сила давления F цилиндра, приложенная в точке Е перпендикулярно брусу (но ни в коем случае не сила Q, которая приложена к цилиндру, а не к брусу!) и реакция заделки, которую представим составляющими и парой с моментом (см рис. 55, б).

Для определения силы давления F разложим силу Q, приложенную в центре цилиндра, на составляющие F и N, перпендикулярные брусу и стене (рис 59, б). Из полученного параллелограмма находим, что

Теперь, составив условия равновесия (29), или точнее (32), получим:

После замены силы F ее значением эти уравнения примут вид:

Из составленных уравнений окончательно находим:

Реакция заделки слагается из сил и пары с моментом

В заключение еще раз подчеркиваем вытекающий из хода решения задач основной вывод в условия равновесия входят только силы непосредственно приложенные к телу, равновесие которого рассматривается.

Рис. 59

Рис. 60

Задача 22. К столбу с перекладиной (рис 60) прикреплены два блока через которые перекинута веревка, удерживающая груз весом Нижний конец веревки закреплен в точке В Столб удерживается в равновесии растяжкой Пренебрегая весом столба с перекладиной и треиием в блоках, определить натяжение растяжки и реакцию заделки А, рассматривая ее как шарнирную (т. е. как нежесткую, позволяющую столбу поворачиваться вокруг точки А). Все размеры указаны на чертеже (в метрах) Размерами блоков пренебрегаем.

Решение. Рассмотрим равновесие всей конструкции, т. е. столба с перекладиной, блоками и частью веревки , охватывающей блоки (см. задачу 9). На Конструкцию действуют следующие внешние силы приложенная в точке сила Q, приложенная в точке К сила натяжения F веревки и реакции связей Внутренние силы, как не входящие в уравнения равновесия, не изображаем. Так как при отсутствии трения в блоках натяжение веревки всюду одинаково, то Составляем для действующих сил следующие условия равновесия (29).

Из прямоугольных треугольников и ADB находим, что Отсюда Следовательно, в данном случае Подставляя в составленные уравнения найденные значения тригонометрических функций и полагая одновременно получим

Решая эти уравнения, найдем окончательно .

§ 18. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМ ТЕЛ

Статический расчет инженерных сооружений во многих случаях сводится к рассмотрению условий равновесия конструкции из системы тел, соединенных какими-нибудь связями. Связи, соединяющие части данной конструкции, будем называть внутренними в отличие от внешних связей, скрепляющих конструкцию с телами, в нее не входящими (например, с опорами).

Рис. 61

Если после отбрасывания внешних связей (опор) конструкция остается жесткой, то для нее задачи статики решаются как для абсолютно твердого тела. Подобные примеры были рассмотрены в задачах 20 и 22 (см. рис. 58 и 60).

Однако могут встречаться такие инженерные конструкции, которые после отбрасывания внешних связей не остаются жесткими. Примером такой конструкции является трехшарнирная арка (рис, 61). Если отбросить опоры А и В, то арка не будет жесткой: ее части могут поворачиваться вокруг шарнира С.

На основании принципа отвердевания система сил, действующих на такую конструкцию, должна при равновесии удовлетворять условиям равновесия твердого тела. Но эти условия, как указывалось, будучи необходимыми, не будут являться достаточными; поэтому из них нельзя определить все неизвестные величины. Для решения задачи необходимо дополнительно рассмотреть равновесие какой-нибудь одной или нескольких частей конструкции.

Например, составляя условия равновесия для сил, действующих на трехшарнирную арку (рис. 61), мы получим три уравнения с четырьмя неизвестными . Рассмотрев дополнительно условия равновесия левой (или правой) ее половины, получим еще три уравнения, содержащие два новых неизвестных на рис. 61 не показанных. Решая полученную систему шести уравнений, найдем все шесть неизвестных (см. задачу 23).

Другой способ решения подобных задач состоит в том, что конструкцию сразу расчленяют на отдельные тела и составляют условия равновесия каждого из тел в отдельности (см. задачу 24). При этом реакции внутренних связей будут попарно равны по модулю и противоположны по направлению. Для конструкции из тел, на каждое из которых действует произвольная плоская система сил, получится таким путем уравнений, позволяющих найти неизвестных (при других системах сил число уравнений соответственно изменится).

Если для данной конструкции число всех реакций связей будет больше числа уравнений, в которые эти реакции входят, то конструкция будет статически неопределимой (см. § 19).

Задача 23. Кронштейн состоит из горизонтального бруса AD (рис. 62, а) весом прикрепленного к стене шарниром, и подкоса СВ весом , который с брусом AD и со стеной также соединен шарнирами (все размеры показаны на чертеже). К концу D бруса подвешен груз весом . Определить реакции шарниров А и С, считая брус и подкос однородными.

Решение. Рассмотрим сначала равновесие всего кронштейна. На него действуют следующие внешние силы: заданные силы и реакции связей . Кронштейн, освобожденный от внешних связей, не образует жесткой конструкции (брусья могут поворачиваться вокруг шарнира В), но по принципу отвердевания действующие на него силы при равновесии должны удовлетворять условиям равновесия статики. Составляя эти условия, найдем:

Рис. 62

Полученные три уравнения содержат, как видим, четыре неизвестных Для решения задачи рассмотрим дополнительно равновесие бруса АО (рис. 62, б). На него действуют силы реакции и реакции которые для бруса AD (когда рассматривается его равновесие) будут силами внешними. Недостающее четвертое уравнение составим, беря моменты действующих на брус AD сил относительно центра В (тогда в уравнение не войдут новые неизвестные ):

Решая теперь систему четырех составленных уравнений (начиная с последнего), найдем:

Из полученных результатов видно, что силы имеют направления, противоположные показанным на чертеже. Реакции шарнира В, если их надо определить, найдутся из уравнений проекций на оси и у сил, действующих на брус AD, и будут равны: .

Как видим, при решении задач статики не всегда надо составлять все условия равновесия для рассматриваемого тела. Если в задаче не требуется определять реакции некоторых связей, то надо пытаться сразу составить такие уравнения, в которые эти неизвестные реакции не будут входить. Так мы и поступили в данной задаче при рассмотрении равновесия бруса AD, составляя только одно уравнение моментов относительно центра В.

Задача 24. Горизонтальная балка АВ весом прикреплена к стене шарниром А и опирается на опору С (рис. 63, а).

К ее концу В шарнирно прикреплен брус ВК весом , опирающийся на выступ В. При этом угол Определить реакции опор, считая балку и брус однородными.

Решение. Расчленяя систему на две части, рассматриваем равновесие бруса ВК и балки АВ в отдельности. На брус ВК (рис. 63, б) действуют сила Р и реакции связей . Вводя обозначение и составляя для этих сил условия равновесия (29), получим:

Решая эти уравнения, найдем:

Рис. 63

На балку АВ, если ее рассматривать отдельно, действуют сила Q, реакции внешних связей и силы давления Хв и У в бруса ВК, передаваемые через шарнир В (рис. 63, в). При этом по закону о действии и противодействии силы Хв и Yb должны быть направлены противоположно по модулю же .

Вводя обозначение и составляя для сил, действующих на балку, условия равновесия (30), получим:

Полагая в этих уравнениях и решая их, найдем:

Из полученных результатов видно, что все реакции, кроме имеют направления, показанные на рис. 63, реакция же фактически направлена вниз.

При решении задач этим путем важно иметь в виду, что если, давление какого-нибудь одного тела на другое изображено силой R или составляющими X и Y, то на основании закона о действии и противодействии давление второго тела на первое должно изображаться силой R, направленной противоположно R (причем по модулю ) или составляющими , направленными противоположно X и Y (причем по модулю ).

Задача 25. На трехшарнирную арку (рис. 64, а) действует горизонтальная сила F. Показать, что при определении реакций опор А и В нельзя переносить точку приложения силы F вдоль ее линии действия в точку Е.

Решение. Освобождая арку от внешних связей (опоры А и В), мы получаем изменяемую конструкцию, которую нельзя считать абсолютно твердым телом. Поэтому при определении реакций опор А и В переносить точку приложения енлы в точку Е, принадлежащую другой части конструкции, нельзя.

Убедимся в этом путем непосредственного решения задачи, пренебрегая весом арки. Рассмотрим сначала правую половину арки. На нее действуют только две силы: реакции шарниров В и С (сила на чертеже не показана).

При равновесии эти силы должны быть направлены вдоль одной прямой, т. е. по линии ВС. Следовательно, реакция направлена вдоль ВС.

Рассматривая теперь равновесие всей арки в целом, найдем, что на нее действуют три силы: заданная сила F и реакции опор (направление которой мы нашли) и R. По теореме о трех силах; (§ 6) линии действия этих сил должны при равновесии пересекаться в одной точке; отсюда находим направление реакции Яд. Модули реакций можно определить из соответствующего силового треугольника.

Рис. 64

Если же приложить силу F в точке Е и, рассуждая аналогичным образом, проделать необходимые построения (рис. 64, б), то убедимся, что в этом случае реакции опор и RB окажутся другими и по модулю, и по направлению.