Научная библиотека

§ 39. ВЕКТОР УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ

Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки.

Пусть в некоторый момент времени движущаяся точка находится в положении М и имеет скорость у, а в момент h приходит в положение и имеет скорость (рис. 117).

Тогда за промежуток времени скорость точки получает приращение Для построения вектора отложим от точки М вектор, равный и построим параллелограмм, в котором диагональю будет , а одной из сторон V. Тогда, очевидно, вторая сторона и будет изображать вектор Заметим, что вектор всегда направлен в сторону вогнутости траектории.

Отношение приращения вектора скорости к соответствующему промежутку времени определяет вектор среднего ускорения точки за этот промежуток времени:

Рис. 117

Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и вектор т. е. направлен в сторону вогнутости траектории.

Ускорением точки в данный момент времени t называется векторная величина а, к которой стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю:

или, с учетом равенства (8),

Следовательно, вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.

Размерность ускорения , т. е. ; в качестве единицы измерения применяется обычно

Из формулы (10) следует также, что вектор ускорения точки а равен отношению элементарного приращения вектора скорости к соответствующему промежутку времени

Найдем, как располагается вектор а по отношению к траектории точки. При прямолинейном движении вектор а направлен вдоль прямой, по которой движется точка. Если траекторией точки является плоская кривая, то вектор ускорения а, так же как и вектор лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор направлен в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, проходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, параллельную касательной в соседней точке (рис. 117).

В пределе, когда точка стремится к М, эта плоскость занимает положениа так называемой соприкасающейся плоскости, т. е. плоскости, в которой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении движущейся точки Следовательно, в общем случае вектор ускорения а лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой. Вопрос об определении модуля ускорения будет рассмотрен в § 40 и 43.