§ 84. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Так как масса точки постоянна, а ее ускорение то уравнение (2), выражающее основной закон динамики, можно представить в виде

Уравнение (32) выражает одновременно теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна сумме действующих на точку сил

Пусть движущаяся точка имеет в момент времени скорость а в момент — скорость Умножим тогда обе части равенства (32) на и возьмем от них определенные интегралы. При этом справа, где интегрирование идет по времени, пределами интеграла будут а слева, где интегрируется скорость, пределами интеграла будут соответствующие значения скорости

Так как интеграл от равен то в результате получим

Стоящие справа интегралы, как следует из формулы (30), представляют собой импульсы действующих сил. Поэтому окончательно будет

Уравнение (33) выражает теорему об изменении количества движения точки в конечном виде: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

При решении задач вместо векторного уравнения (33) часто пользуются уравнениями в проекциях. Проектируя обе части равенства (33) на координатные оси, получим

В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль оси теорема выражается первым из этих уравнений.

Решение задач. Уравнения (33) или (34) позволяют, зная как при движении точки изменяется ее скорость, определить импульс действующих сил (первая задача динамики) или, зная импульсы действующих сил, определить, как изменяется при движении скорость точки (вторая задача динамики). При решении второй задачи, когда заданы силы, надо вычислить их импульсы, Как видно из равенств (30) или (31), это можно сделать лишь тогда, когда силы постоянны или зависят только от времени.

Таким образом, уравнения (33), (34) можно непосредственно использовать для решения второй задачи динамики, когда в задаче в число данных и искомых величин входят: действующие силы, время движения точки и ее начальная и конечная скорости (т. е. величины ), причем силы должны быть постоянными или зависящими только от времени.

Задача 95. Точка, масса которой кг, движется по окружности с численно постоянной скоростью Определить импульс действующей на точку силы за время, в течение которого точка проходит четверть окружности

Решение. По теореме об изменении количества движения Строя геометрически разность этих количеств движения (рис. 222), находим из полученного прямоугольного треугольника

Но по условиям задачи следовательно,

Для аналитического подсчета можно, используя первые два из уравнений (34), найти

Задача 96. Грузу, имеющему массу и лежащему на горизонтальной плоскости, сообщают (толчком) начальную скорость Последующее движение груза тормозится постоянной силой F. Определить, через сколько времени груз остановится,

Рис. 222

Рис. 223

Решение. По данным задачи видно, что для определения времени движения можно воспользоваться доказанной теоремой. Изображаем груз в произвольном положении (рис. 223). На него действуют сила тяжести Р, реакция плоскости N и тормозящая сила F. Направляя ось в сторону движения, составляем первое из уравнений (34)

В данном случае — скорость в момент остановки), а . Из сил проекцию на ось дает только сила F. Так как она постоянна, то где — время торможения. Подставляя все эти данные в уравнение (а), получаем откуда искомое время

Таким образом, время торможения растет пропорционально начальной скорости.

Решим эту же задачу, считая, что тормозящая сила равна Q и не постоянна, а с момента начала торможения растет пропорционально времени, т. е. , где k — некоторый постоянный коэффициент, и становится равной F в момент остановки груза. Так как сила зависит от времени, то опять можно воспользоваться уравнением (а), определяя по первой из формул (31). Учтя, что получим

Тогда уравнение (а) дает . Значение k найдем из условия, что при откуда и окончательно будет

Следовательро, в этом случае время торможения удваивается,