Научная библиотека

§ 38. ВЕКТОР СКОРОСТИ ТОЧКИ

Одной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени. находится

Рис. 116

Пусть движущаяся точка в момент времени t в положении М, определяемом радиусом-вектором , а в момент приходит в положение определяемое вектором (рис. 116). Тогда перемещение точки за промежуток времени определяется вектором который будем называть вектором перемещения точки. Этот вектор направлен по хорде, если точка движется криволинейно , и вдоль самой траектории АВ, когда движение является прямолинейным (рис. 116, б).

Из треугольника видно, что следовательно,

Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую средней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени

Направлен вектор так же, как и вектор т. е. при криволинейном движении вдоль хорды в сторону движения точки, а при прямолинейном движении — вдоль самой траектории (от деления на направление вектора не изменяется).

Очевидно, что чем меньше будет промежуток времени для которого вычислена средняя скорость, тем величина будет точнее характеризовать движение точки. Чтобы получить точную характеристику движения, вводят понятие о скорости точки в данный момент времени.

Скоростью точки в данный момент времени t называется векторная величина v, к которой стремится средняя скорость при стремлении промежутка времени к нулю:

Предел отношения при представляет собой первую производную от вектора по аргументу t и обозначается, как и производная от скалярной функции, символом . Окончательно получаем

Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени.

Так как предельным направлением секущей является касательная, то вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Формула (8) показывает также, что вектор скорости v равен отношению элементарного перемещения точки направленного по касательной к траектории, к соответствующему промежутку времени

При прямолинейном движении вектор скорости v все время направлен вдоль прямой, по которой движется точка, и может изменяться лишь численно; при криволинейном движении кроме числового значения все время изменяется и направление вектора скорости точки. Размерность скорости , т. е. длина/время; в качестве единиц измерения применяют обычно или Вопрос об определении модуля скорости будет рассмотрен в § 40 и 42.