ЕГЭ и ОГЭ
Живые анекдоты
Главная > Физика > Краткий курс теоретической механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Научная библиотека

Научная библиотека

избранных естественно-научных изданий

Научная библиотека служит для получения быстрого и удобного доступа к информации естественно-научных изданий, получивших широкое распространение в России и за рубежом. На сайте впервые широкой публике представлены некоторые авторские издания написанные ведущими учеными страны.

Во избежании нарушения авторского права, материал библиотеки доступен по паролю ограниченному кругу студентов и преподавателей вузов. Исключение составляют авторские издания, на которые имеются разрешения публикации в открытой печати.

Математика

Физика

Методы обработки сигналов

Схемотехника

Астрономия

Разное

Макеты страниц

§ 95. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ ВЯЗКОМ СОПРОТИВЛЕНИИ (ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ)

Рассмотрим, как влияет на свободные колебания сопротивление, создаваемое силой вязкого трения [см. § 76, формула (7)], т. е. силой, пропорциональной первой степени скорости: (знак минус указывает, что сила R направлена противоположно v). Пусть на точку при ее движении действуют восстанавливающая сила F и сила сопротивления R (рис. 258). Тогда и дифференциальное уравнение движения будет

Деля обе части уравнения на , получим

где обозначено

Легко проверить, что величины k и b имеют одинаковые размерности (1/время); это позволяет сравнивать их с друг с другом.

Уравнение (76) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при сопротивлении, пропорциональном скорости. Его решение, как и решение уравнения (67), ищут в виде . Подставляя это значение в уравнение (76), получим характеристическое уравнение корни которого будут

(78)

Рис. 258

1. Рассмотрим случай, когда , т. е. когда сопротивление по сравнению с восстанавливающей силой мало. Введя обозначение

получим из (78), что т. е. что корни характеристического уравнения являются комплексными. Тогда общее решение уравнения (76) будет, очевидно, отличаться от решения уравнения (67) только множителем , т. е.

или, по аналогии с равенством (69),

(81)

Входящие в (81) величины А и а являются постоянными интегрирования и определяются по начальным условиям.

Колебания, происходящие по закону (81), называются затухающими, так как благодаря наличию множителя величина (рис. 258) с течением времени убывает, стремясь к нулю.

График этих колебаний показан на рис. 259 (график заключен между пунктирными кривыми так как по модулю не может стать больше единицы).

Промежуток времени равный периоду т. е. величину

принято называть периодом затухающих колебаний. За период точка совершает одно полное колебание, т. е., например, начав двигаться из положения вправо (см. рис. 258), приходит в то же положение, двигаясь также вправо. Формулу (82), если учесть равенство (71), можно еще представить в виде

Рис. 259

Из полученных формул видно, что т. е. что при наличии сопротивления период колебаний несколько увеличивается. Однако когда сопротивление мало то величиной по сравнению с единицей можно пренебречь и считать Следовательно, малое сопротивление на период колебаний практически не влияет.

Промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями колеблющейся точки вправо (или влево) также оказывается равным Следовательно, если первое максимальное отклонение вправо происходит в момент то второе отклонение наступит в момент и т. д. Тогда по формуле (81), учитывая, что получим:

Аналогично для любого отклонения будет Таким образом, оказывается, что размахи колебаний будут убывать по закону геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии называется декрементом рассматриваемых колебаний, а модуль его логарифма, т. е. величина логарифмическим декрементом.

Из всех полученных результатов следует, что малое сопротивление почти не влияет на период колебаний, но вызывает постепенное их затухание вследствие убывания размахов колебаний по закону геометрической прогрессии.

2. Рассмотрим теперь случай, когда , т. е. когда сопротивление по сравнению с восстанавливающей силой велико. Вводя обозначение найдем, что в этом случае корни характеристического уравнения (78) равны , т. е. оба действительны и отрицательны (так как ). Следовательно, решение уравнения (76), описывающее закон движения точки, имеет при вид

Так как функция , где а>0, со временем монотонно убывает, стремясь к нулю, то движение точки в этом случае не будет колебательным и она под действием восстанавливающей силы будет постепенно (асимптотически) приближаться к равновесному положению График такого движения, если при имеет в зависимости от значения вид одной из кривых, показанных на рис. 260 (1 — при при когда невелик; 3 — при когда велик; все эти результаты качественно ясны из физических соображений). При вид графиков не изменится (они будут лишь зеркально отображенными относительно оси ); наконец, при график (кривая 1) имеет максимум В в начальный момент времени

3. В заключение рассмотрим случай, когда Корни характеристического уравнения (78) будут при этом тоже действительными, но кратными и общее решение уравнения (76) примет вид (что можно проверить подстановкой в уравнение)

Движение точки в данном случае тоже не будет колебательным и она со временем стремится асимптотически к равновесному положению [по правилу Лопиталя ]. График движения в зависимости от начальных условий имеет тоже вид кривых, показанных на рис. 260.

Рис. 260

Рис. 261

Задача 116. Цилиндр (его масса , а площадь дна ), частично погруженный в вязкую жидкость с удельным весом у (рис. 261), выводят из равновесного положения. Определить период последующих затухающих колебаний цилиндра, считая, что на него действует сила вязкого трения

Решение. В равновесном положении (рис. 261, а) на цилиндр действуют сила тяжести Р и архимедова сила равная численно весу вытесненной жидкости, т. е. — высота погруженной части цилиндра при равновесии).

Проведем из начального положения точки С вертикально вниз ось и изобразим цилиндр в произвольном положении, при котором точка С смещена вниз на величину (рис. 261, б). На цилиндр в этом положении действуют: сила тяжести Р, архимедова сила N и сила сопротивления R (при движении цилиндра вниз, т. е. когда она направлена вверх); изобразим силы Р и R приложенными в точке С. Поскольку дополнительное погружение цилиндра равно х, то (мы видим, что N здесь является восстанавливающей силой, пропорциональной смещению х). Составляя дифференциальное уравнение поступательного движения цилиндра в проекции на ось получим:

Учтя, что при равновесии и введя обозначения

приведем составленное уравнение к виду

такому же, как у уравнения (76). Тогда по формуле (82), учтя обозначения (а), найдем для искомого периода колебаний значение

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление