Научная библиотека

§ 134. ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ИНЕРЦИИ

Сравнивая первое из равенств (88) с уравнением выражающим доказанную в § 107 теорему о движении центра масс (в этой главе массу системы обозначаем буквой ), найдем, что

(89)

т. е. главный вектор сил инерции механической системы (в частности, твердого тела) равен произведению массы системы (тела) на ускорение центра масс и направлен противоположно этому ускорению.

Если ускорение разложить на касательное и нормальное, то вектор разложится на составляющие

Сравнив теперь второе из равенств (88) с уравнением выражающим теорему моментов (см. § 116), и учтя, что аналогичным будет соотношение для моментов относительно оси, получим:

т. е. главный момент сил инерции механической системы (твердого тела) относительно некоторого центра О или оси z равен взятой со знаком минус производной по времени от кинетического момента системы (тела) относительно того же центра или той же оси.

Приведение сил инерции твердого тела. Согласно результатам § 12, справедливым для любых сил, систему сил инерции твердого тела можно заменить одной силой, равной и приложенной в произвольно выбранном центре О, и парой с моментом, равным Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Поступательное движение. В этом случае ускорения всех точек тела одинаковы и равны ускорению центра масс С тела . Тогда все силы инерции образуют систему параллельных сил, аналогичных силам тяжести и поэтому, как и силы тяжести, имеют равнодействующую, проходящую через точку С.

Следовательно, при поступательном движении силы инерции твердого тела приводятся к равнодействующей, равной и проходящей через центр масс тела.

2. Вращательное движение. Пусть твердое тело имеет плоскость материальной симметрии и вращается вокруг оси перпендикулярной этой плоскости (рис. 343, где показано сечение тела плоскостью ). Если привести силы инерции к центру О, то вследствие симметрии результирующая сила и пара будут лежать в плоскости и момент пары будет равен .

Тогда, так как по второй из формул (90)

где — угловое ускорение тела.

Следовательно, система сил инерции такого вращающегося тела приводится к силе определяемой формулой (89) и приложенной в точке О (рис. 343), и к паре с моментом определяемым формулой (91), лежащей в плоскости симметрии тела.

Рис. 343

3. Вращение вокруг оси, проходящей через центр масс тела. Если тело, рассмотренное в п. 2, вращается вокруг оси проходящей через центр масс С тела, то так как . Следовательно, в этом случае система сил инерции тела приводится к одной только паре с моментом лежащей в плоскости симметрии тела.

4. Плоскопараллельное движение. Если тело имеет плоскость симметрии и движется параллельно этой плоскости, то, очевидно, система сил инерции тела приведется к лежащим в плоскости симметрии силе, равной и приложенной в центре масс С тела, и паре с моментом

При решении задач по формулам вида (91) вычисляется модуль момента а его направление, противоположное , указывается на чертеже.