Научная библиотека

Глава XXIV. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

§ 115. ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

Понятие о моменте количества движения для одной материальной точки было введено в § 85. Главным моментом количеств движения (или кинетическим моментом) системы относительно данного центра О называется величина равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра

Аналогично определяются моменты количеств движения системы относительно координатных осей:

При этом представляют собой одновременно проекция вектора Ко на координатные оси.

В § 110 было отмечено, что количество движения системы можно рассматривать как характеристику ее поступательного движения. Из последующего будет видно, что главный момент количеств движения (кинетический момент) системы может рассматриваться как характеристика ее вращательного движения.

Кинетический момент вращающегося тела. В качестве важного конкретного примера найдем значения для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (рис. 295).

1. Определение . У любой точки тела, отстоящей от оси вращения на расстоянии скорость ( — угловая скорость тела). Следовательно, для этой точки . Тогда для всего тела, вынося общий множитель со за скобки, получим

Рис. 295

Величина, стоящая в скобках, представляет собой момент инерции тела относительно оси (см. § 102). Окончательно находим

Таким образом, кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента - инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.

Если система состоит из нескольких тел, вращающихся вокруг одной и той же оси, то

Заметим еще, что формула (32) сохранит свой вид и в случае поворота тела вокруг мгновенной оси вращения с угловой скоростью , так как при этом поле скоростей точек тела будет в данный момент времени таким же, как при вращении вокруг неподвижной оси. Таким образом,

2. Определение Для определения вычислим величину так же, как вычисляется момент силы, при этом используем формулы (47) из § 28, заменив в них F на v. Тогда

Но согласно формулам , (последнее сразу видно из рис 295), следовательно, . В результате, вынося общий множитель со за скобки, найдем

так как сумма, стоящая в скобках, представляет собой центробежный момент инерции (см. § 104). Аналогичное выражение получится для где всюду вместо войдет . Окончательно

Таким образом, кинетический момент вращающегося тела относительно центра О, лежащего на оси вращения представляет собой вектор проекции которого на оси определяются формулами (32) и (34) В общем случае, как видим, вектор не направлен по оси вращения Но если ось Oz будет для точки О главной осью инерции тела (в частности, осью симметрии), то При этом и Следовательно, если тело вращается вокруг оси, являющейся для точки О главной осью инерции тела (или вокруг оси симметрии тела), то вектор направлен вдоль оси вращения и численно равен