§ 56. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ С ПОМОЩЬЮ МГНОВЕННОГО ЦЕНТРА СКОРОСТЕЙ. ПОНЯТИЕ О ЦЕНТРОИДАХ

Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек плоской фигуры (или тела при плоском движении) основан на понятии о мгновенном центре скоростей.

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Рис. 150

Легко убедиться, что если фигура движется непоступательно, то такая точка в каждый момент Еремени t существует и притом единственная. Пусть в момент времени t точки А и В плоской фигуры имеют скорости не параллельные друг другу (рис. 150). Тогда точка Р, лежащая на пересечении перпендикуляров к вектору и ВЬ к вектору и будет мгновенным центром скоростей, так как . В самом деле, если допустить, что то по теореме о проекциях скоростей вектор должен быть одновременно перпендикулярен и АР, (так как ) и ВР (так как LBP), что невозможно. Из той же теоремы видно, что никакая другая точка фигуры в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю (например, для точки а проекция на линию не равна нулю и, следовательно, и т. д.).

Если теперь в момент времени t взять точку Р за полюс, то по формуле (52) скорость точки А будет

так как Аналогичный результат получается для любой другой точки фигуры. Следовательно, скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей.

При этом согласно соотношениям (53):

Из равенств (55) следует еще, что

т. е. что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей.

Полученные результаты приводят к следующим выводам.

1. Для определения мгновенного центра скоростей надо знать только направления скоростей каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры (или траектории этих точек); мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из точек A и В к скоростям этих точек (или к касательным к траекториям).

2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой ее точки В. Тогда, восставив из точек А и В перпендикуляры к построим мгновенный центр скоростей Р и по направлению определим направление поворота фигуры. После этого, зная найдем по формуле (56) скорость любой точки М плоской фигуры. Направлен вектор перпендикулярно РМ в сторону поворота фигуры.

3. Угловая скорость со плоской фигуры равна в каждый данный момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к ее расстоянию от мгновенного центра скоростей Р:

что видно из формул (55).

Найдем еще другое выражение для .

Из равенств (52) и (53) следует, что , откуда

Когда (точка А — мгновенный центр скоростей), формула (58) переходит в (57).

Рис. 151

Равенства (57) и (58) определяют одну и ту же величину, так как по доказанному (см. § 52) поворот плоской фигуры вокруг точки А или точки Р происходит с одной и той же угловой скоростью со.

Пример. Для линейки AD эллипсографа (рис. 151) направления скоростей точек А и В известны.

Восставляя к ним перпендикуляры, найдем мгновенный центр скоростей Р линейки (эллипсограф можно представить себе в виде листа фанеры , прикрепленного шарнирно к ползунам, А и В, а линейку AD — нарисованной на этом листе; точка Р, принадлежащая листу, имеет скорость

Зная Р, из пропорции получим т. е. тот же результат, что и в задаче 60. Для точки М аналогично найдем, что . Длину РМ можно вычислить, зная и угол Направление вектора показано на чертеже

Для угловой скорости линейки по формулам (57) или (58) находим

Легко проверить, что обе формулы дают один и тот же результат.

Рассмотрим некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей.

а) Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого неподвижного, то точка Р катящегося тела, касающаяся неподвижной поверхности (рис. 152), имеет в данный момент времени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю и, следовательно, является мгновенным центромскоростей. Примером служит качение колеса по рельсу.

Рис. 152

Рис. 153

б) Если скорости точек А и В плоской параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна (рис. 153, а), то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек параллельны При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что аналогичный результат получается для всех других точек. Следовательно, в рассматриваемом случае скорости всех точек фигуры в данный момент времени равны друг другу и по модулю, и по направлению, т. е. фигура имеет мгновенное поступательное распределение скоростей (такое состояние движения тела называют еще мгновенно поступательным). Угловая скорость со тела в этот момент времени, как видно из формулы (58), равна нулю.

в) Если скорости точек А и Б плоской фигуры параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна то мгновенный центр скоростей Р определяется построением, показанным на рис. 153, б. Справедливость построений следует из пропорции (56). В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения центра P надо кроме направлений знать еще и модули скоростей

г) Если известны вектор скорости какой-нибудь точки В фигуры и ее угловая скорость со, то положение мгновенного центра скоростей Р, лежащего на перпендикуляре к (см. рис. 150), можно найти из равенства (57), которое дает

Мгновенный центр вращения и центроиды. Выше было показано, что скорости точек плоской фигуры распределены в каждый момент времени так, как если бы движение этой фигуры представляло собой вращение вокруг центра Р. По этой причине точку неподвижной плоскости, совпадающую с мгновенным центром скоростей, которую мы также будем обозначать буквой Р, называют мгновенным центром вращения, а ось перпендикулярную сечению S тела (см. рис. 141) и проходящую через точку Р, — мгновенной осью вращения тела, совершающего плоскопараллельное движение. От неподвижной оси (или центра) вращения мгновенная центр) отличаются тем, что они все время меняют свое положение. В § 52 было установлено, что плоскопараллельное движение можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения вместе с каким-то фиксированным полюсом и вращательного движения вокруг этого полюса. Полученный результат позволяет дать другую геометрическую картину плоского движения, а именно: плоскопараллельное движение слагается серии последовательных элементарных поворотов вокруг непрерывно меняющих свое положение мгновенных осей (или центров) вращения.

Например, качение колеса, изображенного ниже на рис. 156, можно представить себе или как совокупность поступательного движения вместе с полюсом С и вращения вокруг этого полюса, или же как серию элементарных поворотов вокруг непрерывно изменяющей свое положение точки касания Р обода с рельсом.

При движении плоской фигуры мгновенный центр Р непрерывно изменяет свое положение как на неподвижной плоскости так и на плоскости, связанной с движущейся фигурой.

Рис. 154

Рис. 155

Геометрическое место мгновенных центров вращения, т. е. положений точки Р на неподвижной плоскости, называют неподвижной центроидой, а геометрическое место мгновенных центров скоростей, т. е. положений точки Р в плоскости, связанной с фигурой и движущейся вместе с ней, — подвижной центроидой (рис. 154). В данный момент времени обе центроиды касаются друг друга в точке Р, являющейся для этого момента мгновенным центром вращения (или скоростей); пересекаться центроиды не могут, так как тогда в данный момент времени существовало бы больше одного мгновенного центра, что невозможно. В следующий момент времени будут соприкасаться точки подвижной и неподвижной центроид, и эта точка будет для следующего момента мгновенным центром вращения и т. д. Отсюда, поскольку положение мгновенного центра Р изменяется непрерывно и в каждый данный момент времени , можно заключить, что при плоскопараллельном движении происходит качение без скольжения подвижной центроиды но неподвижной. Наоборот, если материально осуществить обе центроиды, то геометрическую картину плоского движения твердого тела можно получить, скрепив тело с подвижной центроидой и катя эту центроиду без скольжения по неподвижной.

Легко видеть, что для колеса, изображенного на рис. 156, ось является неподвижной центроидой, а окружность PCDK — подвижной. Качением без скольжения подвижной центроиды по неподвижной и осуществляется движение колеса.

Пример. Для линейки АВ эллипсографа (рис. 155) мгновенный центр вращения находится в точке Р (см. рис. 151). Так как расстояние в любой момент времени, то геометрическим местом точек Р в плоскости т. е. неподвижной центроидой, будет окружность радиуса l с центром в О. Но одновременно, если линейку АВ представить нарисованной на листе фанеры Л, то расстояние центра Р от точки С линейки будет тоже все время постоянным. Следовательно, геометрическим местом точек Р на листе фанеры Л, т. е. подвижной центроидой, будет окружность радиуса 112 с центром в точке С. При движении эллипсографа окружность 2 катится без скольжения по окружности 1 и точка их касания в каждый момент времени будет мгновенным центром вращения. Наоборот, если окружности 1 и 2 осуществить материально (в виде шестерен) и катить одну по другой (неподвижной) без скольжения, то при этом диаметр АВ окружности 2 воспроизведет движение линейки эллипсографа.