ЕГЭ и ОГЭ
Живые анекдоты
Главная > Физика > Краткий курс теоретической механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Научная библиотека

Научная библиотека

избранных естественно-научных изданий

Научная библиотека служит для получения быстрого и удобного доступа к информации естественно-научных изданий, получивших широкое распространение в России и за рубежом. На сайте впервые широкой публике представлены некоторые авторские издания написанные ведущими учеными страны.

Во избежании нарушения авторского права, материал библиотеки доступен по паролю ограниченному кругу студентов и преподавателей вузов. Исключение составляют авторские издания, на которые имеются разрешения публикации в открытой печати.

Математика

Физика

Методы обработки сигналов

Схемотехника

Астрономия

Разное

Макеты страниц

§ 56. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ С ПОМОЩЬЮ МГНОВЕННОГО ЦЕНТРА СКОРОСТЕЙ. ПОНЯТИЕ О ЦЕНТРОИДАХ

Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек плоской фигуры (или тела при плоском движении) основан на понятии о мгновенном центре скоростей.

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Рис. 150

Легко убедиться, что если фигура движется непоступательно, то такая точка в каждый момент Еремени t существует и притом единственная. Пусть в момент времени t точки А и В плоской фигуры имеют скорости не параллельные друг другу (рис. 150). Тогда точка Р, лежащая на пересечении перпендикуляров к вектору и ВЬ к вектору и будет мгновенным центром скоростей, так как . В самом деле, если допустить, что то по теореме о проекциях скоростей вектор должен быть одновременно перпендикулярен и АР, (так как ) и ВР (так как LBP), что невозможно. Из той же теоремы видно, что никакая другая точка фигуры в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю (например, для точки а проекция на линию не равна нулю и, следовательно, и т. д.).

Если теперь в момент времени t взять точку Р за полюс, то по формуле (52) скорость точки А будет

так как Аналогичный результат получается для любой другой точки фигуры. Следовательно, скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей.

При этом согласно соотношениям (53):

Из равенств (55) следует еще, что

т. е. что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей.

Полученные результаты приводят к следующим выводам.

1. Для определения мгновенного центра скоростей надо знать только направления скоростей каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры (или траектории этих точек); мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из точек A и В к скоростям этих точек (или к касательным к траекториям).

2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой ее точки В. Тогда, восставив из точек А и В перпендикуляры к построим мгновенный центр скоростей Р и по направлению определим направление поворота фигуры. После этого, зная найдем по формуле (56) скорость любой точки М плоской фигуры. Направлен вектор перпендикулярно РМ в сторону поворота фигуры.

3. Угловая скорость со плоской фигуры равна в каждый данный момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к ее расстоянию от мгновенного центра скоростей Р:

что видно из формул (55).

Найдем еще другое выражение для .

Из равенств (52) и (53) следует, что , откуда

Когда (точка А — мгновенный центр скоростей), формула (58) переходит в (57).

Рис. 151

Равенства (57) и (58) определяют одну и ту же величину, так как по доказанному (см. § 52) поворот плоской фигуры вокруг точки А или точки Р происходит с одной и той же угловой скоростью со.

Пример. Для линейки AD эллипсографа (рис. 151) направления скоростей точек А и В известны.

Восставляя к ним перпендикуляры, найдем мгновенный центр скоростей Р линейки (эллипсограф можно представить себе в виде листа фанеры , прикрепленного шарнирно к ползунам, А и В, а линейку AD — нарисованной на этом листе; точка Р, принадлежащая листу, имеет скорость

Зная Р, из пропорции получим т. е. тот же результат, что и в задаче 60. Для точки М аналогично найдем, что . Длину РМ можно вычислить, зная и угол Направление вектора показано на чертеже

Для угловой скорости линейки по формулам (57) или (58) находим

Легко проверить, что обе формулы дают один и тот же результат.

Рассмотрим некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей.

а) Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого неподвижного, то точка Р катящегося тела, касающаяся неподвижной поверхности (рис. 152), имеет в данный момент времени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю и, следовательно, является мгновенным центромскоростей. Примером служит качение колеса по рельсу.

Рис. 152

Рис. 153

б) Если скорости точек А и В плоской параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна (рис. 153, а), то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек параллельны При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что аналогичный результат получается для всех других точек. Следовательно, в рассматриваемом случае скорости всех точек фигуры в данный момент времени равны друг другу и по модулю, и по направлению, т. е. фигура имеет мгновенное поступательное распределение скоростей (такое состояние движения тела называют еще мгновенно поступательным). Угловая скорость со тела в этот момент времени, как видно из формулы (58), равна нулю.

в) Если скорости точек А и Б плоской фигуры параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна то мгновенный центр скоростей Р определяется построением, показанным на рис. 153, б. Справедливость построений следует из пропорции (56). В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения центра P надо кроме направлений знать еще и модули скоростей

г) Если известны вектор скорости какой-нибудь точки В фигуры и ее угловая скорость со, то положение мгновенного центра скоростей Р, лежащего на перпендикуляре к (см. рис. 150), можно найти из равенства (57), которое дает

Мгновенный центр вращения и центроиды. Выше было показано, что скорости точек плоской фигуры распределены в каждый момент времени так, как если бы движение этой фигуры представляло собой вращение вокруг центра Р. По этой причине точку неподвижной плоскости, совпадающую с мгновенным центром скоростей, которую мы также будем обозначать буквой Р, называют мгновенным центром вращения, а ось перпендикулярную сечению S тела (см. рис. 141) и проходящую через точку Р, — мгновенной осью вращения тела, совершающего плоскопараллельное движение. От неподвижной оси (или центра) вращения мгновенная центр) отличаются тем, что они все время меняют свое положение. В § 52 было установлено, что плоскопараллельное движение можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения вместе с каким-то фиксированным полюсом и вращательного движения вокруг этого полюса. Полученный результат позволяет дать другую геометрическую картину плоского движения, а именно: плоскопараллельное движение слагается серии последовательных элементарных поворотов вокруг непрерывно меняющих свое положение мгновенных осей (или центров) вращения.

Например, качение колеса, изображенного ниже на рис. 156, можно представить себе или как совокупность поступательного движения вместе с полюсом С и вращения вокруг этого полюса, или же как серию элементарных поворотов вокруг непрерывно изменяющей свое положение точки касания Р обода с рельсом.

При движении плоской фигуры мгновенный центр Р непрерывно изменяет свое положение как на неподвижной плоскости так и на плоскости, связанной с движущейся фигурой.

Рис. 154

Рис. 155

Геометрическое место мгновенных центров вращения, т. е. положений точки Р на неподвижной плоскости, называют неподвижной центроидой, а геометрическое место мгновенных центров скоростей, т. е. положений точки Р в плоскости, связанной с фигурой и движущейся вместе с ней, — подвижной центроидой (рис. 154). В данный момент времени обе центроиды касаются друг друга в точке Р, являющейся для этого момента мгновенным центром вращения (или скоростей); пересекаться центроиды не могут, так как тогда в данный момент времени существовало бы больше одного мгновенного центра, что невозможно. В следующий момент времени будут соприкасаться точки подвижной и неподвижной центроид, и эта точка будет для следующего момента мгновенным центром вращения и т. д. Отсюда, поскольку положение мгновенного центра Р изменяется непрерывно и в каждый данный момент времени , можно заключить, что при плоскопараллельном движении происходит качение без скольжения подвижной центроиды но неподвижной. Наоборот, если материально осуществить обе центроиды, то геометрическую картину плоского движения твердого тела можно получить, скрепив тело с подвижной центроидой и катя эту центроиду без скольжения по неподвижной.

Легко видеть, что для колеса, изображенного на рис. 156, ось является неподвижной центроидой, а окружность PCDK — подвижной. Качением без скольжения подвижной центроиды по неподвижной и осуществляется движение колеса.

Пример. Для линейки АВ эллипсографа (рис. 155) мгновенный центр вращения находится в точке Р (см. рис. 151). Так как расстояние в любой момент времени, то геометрическим местом точек Р в плоскости т. е. неподвижной центроидой, будет окружность радиуса l с центром в О. Но одновременно, если линейку АВ представить нарисованной на листе фанеры Л, то расстояние центра Р от точки С линейки будет тоже все время постоянным. Следовательно, геометрическим местом точек Р на листе фанеры Л, т. е. подвижной центроидой, будет окружность радиуса 112 с центром в точке С. При движении эллипсографа окружность 2 катится без скольжения по окружности 1 и точка их касания в каждый момент времени будет мгновенным центром вращения. Наоборот, если окружности 1 и 2 осуществить материально (в виде шестерен) и катить одну по другой (неподвижной) без скольжения, то при этом диаметр АВ окружности 2 воспроизведет движение линейки эллипсографа.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление