§ 26. ТРЕНИЕ НИТИ О ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ ПОВЕРХНОСТЬ

К нити, накинутой на круглый цилиндрический вал (рис. 81), приложена сила Р. Найдем, какую наименьшую силу Q надо приложить к другому копну нити, чтобы сохранить равновесие при данном угле АОВ, равном а, если коэффициент трения нити о вал

Для решения задачи рассмотрим равновесие элемента нити DE длины где R — радиус вала. Разность натяжений нити в точках D и Е, равная уравновешивается силой трения — нормальная реакция), так как при наименьшей силе Q равновесие является предельным. Следовательно,

Значение определим из уравнения равновесия в проекции на ось у. Полагая синус малого угла равным самому углу и пренебрегая малыми высшего порядка, найдем, что

Подставляя это значение в предыдущее равенство, получим

Разделим обе части равенства на Т и возьмем интегралы справа в пределах от 0 до а, а слева от Q до Р (так как натяжение нити в точке, где равно Q, а в точке, где равно Р).

Получим:

Отсюда следует, что или

Как видим, потребная сила Q зависит только от коэффициента трения и угла а; от радиуса вала сила Q не зависит. При отсутствии трения получаем, как и следовало ожидать, Практически очень важен тот факт, что, увеличивая угол а (навивая нить), можно значительно уменьшить силу Q, необходимую для уравновешивания силы Р, что видно из табл. 1. Например (см. табл. 1), натяжение в 1000 Н можно уравновесить силой всего в 2 Н, дважды обернув пеньковый канат вокруг деревянного столба.

Таблица 1. Значения при (пеньковый канат по дереву)

Формула (42) определяет также отношение натяжений Р (ведущей) и Q (ведомой) частей ремня, равномерно вращающего шкив, если проскальзывание ремня по шкиву отсутствует. Считая, например, при этом и принимая для кожаного ремня и чугунного шкива получим, что отношение натяжений

Рис. 82

Задача 33. К рычагу DE ленточного тормоза (рис. 82) приложена сила F. Определить тормозящий момент действующий на шкив радиуса R, если и коэффициент трения ленты о шкив

Решение На шкив вместе с прилегающей к нему лентой А В действуют приложенная в точке А сила Р, причем и приложенная в точке В сила Q, определяемая формулой (42). В нашем случае рад. Следовательно,

Искомый момент

Момент будет тем больше, чем меньше Q, т. е. чем больше коэффициент трения и угол а.