ЕГЭ и ОГЭ
Живые анекдоты
Главная > Физика > Краткий курс теоретической механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Научная библиотека

Научная библиотека

избранных естественно-научных изданий

Научная библиотека служит для получения быстрого и удобного доступа к информации естественно-научных изданий, получивших широкое распространение в России и за рубежом. На сайте впервые широкой публике представлены некоторые авторские издания написанные ведущими учеными страны.

Во избежании нарушения авторского права, материал библиотеки доступен по паролю ограниченному кругу студентов и преподавателей вузов. Исключение составляют авторские издания, на которые имеются разрешения публикации в открытой печати.

Математика

Физика

Методы обработки сигналов

Схемотехника

Астрономия

Разное

Макеты страниц

§ 132. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ И ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Для составления дифференциальных уравнений движения тела, имеющего неподвижную точку, необходимо найти выражение главного; момента количеств движения Ко (кинетического момента) и кинетической энергии Т тела в этом случае движения.

1. Кинетический момент тела, движущегося вокруг неподвижной точки. Вектор Ко можно определить, найдя его проекции на какие-нибудь три координатные оси Охуz. Чтобы получить соответствующие формулы в наиболее простом виде, возьмем в качестве осей Охуz (см. ниже рис. 341) жестко связанные с телом главные оси инерции этого тела для точки О (см. § 104).

Начнем с вычисления По аналогии с формулами (47) из § 28

Но по формулам Эйлера [§ 62, формулы (77)]

где — проекции на оси Охуz мгновенной угловой скорости тела; — координаты точек тела.

Подставим эти значения в предыдущее равенство; при этом заметим, что члены с произведениями координат можно не подсчитывать, так как оси Охуz являются главными осями инерции и для них все центробежные моменты инерции равны нулю, т. е. . В результате, вынося общий множитель за скобки, найдем

где величина в квадратных скобках представляет собой, согласно формулам (3) из § 102, главный момент инерции тела относительно оси Ох. Аналогичные выражения получим для и окончательно будет

Формулы (78) дают выражения проекций вектора Ко на главные оси инерции тела для точки О.

Если оси Охуz не будут главными, то, как нетрудно подсчитать, формулы (78) примут следующий более сложный вид:

2. Кинетическая энергия тела, движущегося вокруг неподвижной точки. Так как любое элементарное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку О, представляет собой элементарный поворот с угловой скоростью со вокруг мгновенной оси вращения 01, проходящей через эту точку (см. § 60), то кинетическую энергию тела можно определить по формуле

Подставим сюда значение из формулы (12) (см. § 105, рис. 280) и одновременно учтем, что так как вектор направлен по оси . Тогда получим

Если в качестве координатных осей взять главные оси инерции тела для точки О, то все центробежные моменты инерции обратятся в нули и тогда

3. Динамические уравнения Эйлера. Пусть на твердое тело, имеющее неподвижную точку О, действуют заданные силы (рис. 341). Одновременно на тело будет действовать реакция связи (на рисунке не показана). Чтобы исключить из уравнений движения эту неизвестную реакцию, воспользуемся теоремой моментов относительно центра О (§ 116), представив ее в виде (74), т. е. в виде теоремы Резаля. Тогда поскольку уравнение (74) даст

(80)

где — скорость по отношению к инерциальной системе отсчета точки В, совпадающей с концом вектора .

Движение тела изучается тоже по отношению к инерциальной системе отсчета Но чтобы получить уравнения этого движения в наиболее простой форме, спроектируем обе части предыдущего равенства на жестко связанные с телом и движущиеся вместе с ним оси Охуz, являющиеся главными осями инерции тела для точки О. Тогда выражения проекций вектора Ко будут иметь простой вид, даваемый формулами (78), а входящие в них моменты инерции будут величинами постоянными.

Для вычисления проекций абсолютной скорости на подвижные оси представим как сумму относительной (по отношению к осям Охуz) скорости и переносной скорости апер. Тогда из уравнения (80)

(81)

Обозначим координаты точки В через . При этом, так как радиусом-вектором точки В является вектор (рис. 341), то

Как указано в § 64, при определении движение осей Охуz во внимание не принимается, следовательно, а при определении апер точку В можно рассматривать как принадлежащую телу, связанному с осями Охуz. Но это тело движется вокруг неподвижной точки О; следовательно, по первой из формул Эйлера [формулы (77) в § 62] , где «в — угловая скорость тела. Заменяя в найденных выражениях величины их значениями (78) и подставляя эти значения во второе из равенств (81), получим

Аналогичные выражения получаются для проекций первого из равенств (81) на оси (их можно найти круговой перестановкой индексов). Так как для связанных с телом осей Охуz величины постоянны, то окончательно найдем следующие дифференциальные уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки в проекциях на главные оси инерции тела для этой точки:

Уравнения (82) называются динамическими уравнениями Эйлера.

Рис. 341

Рис. 342

Если положение тела определять углами Эйлера (см. § 60), то основная задача динамики будет состоять в том, чтобы, зная найти закон движения тела, найти как функции времени. Для решения этой задачи надо к уравнениям (82) присоединить кинематические уравнения Эйлера (см. § 61), устанавливающие связь между и углами .

Динамические и кинематические уравнения Эйлера образуют систему шести нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка; интегрирование этой системы представляет собой сложную математическую задачу. В § 131 была изложена приближенная теория гироскопических явлений. Точно движение гироскопа описывается уравнениями (82). Для интегрирования этих уравнений при решении соответствующих конкретных задач обычно используют те или иные приближенные математические методы.

В случаях, когда это целесообразно, одно из уравнений (82) можно заменять теоремой об изменении кинетической энергии. Формула (79) используется также при составлении уравнений методом, изложенным в § 145 (задача 181 в § 146).

4. Пример. В качестве простейшего примера приложения полученных уравнений рассмотрим движение свободного гироскопа, закрепленного в центре тяжести, на который никакие силы, кроме силы тяжести, не действуют (см, § 131, п. 1). В этом случае и теорема моментов (см. § 116) дает:

Таким образом, вектор Ко имеет постоянное направление в инерциальной системе отсчета. Пользуясь этим, направим для упрощения дальнейших расчетов неподвижную ось вдоль вектора Ко (рис. 342); две другие оси, на чертеже не показанные, можно провести произвольно. Подвижные оси, связанные с гироскопом, проведем так, чтобы ось была направлена вдоль оси симметрии гироскопа. Тогда и последнее из уравнений (82), поскольку в нашей случае дает откуда

По этой причине из формул (78) следует, что . Но одновременно, как видно из рис. 342, , где — угол нутации (см. рис. 172 в § 60). Так как согласно равенству (а) то отсюда заключаем, что и или

где — начальное значение угла нутации.

Умножим теперь обе части первого из уравнений (82) на второго — на сложим эти равенства почленно, учитывая, что в нашем случае Тогда получим

Отсюда, интегрируя и деля обе части на постоянный множитель, найдем

Заменим здесь со и их значениями из кинематических уравнений Эйлера (см. § 61). Учитывая, что получим:

откуда

Но по доказанному левая часть этого равенства и постоянны. Следовательно, и

Наконец, последнее из кинематических уравнений Эйлера дает . Здесь, как мы нашли, постоянны. Следовательно, и

Итак, при любых начальных условиях рассматриваемый гироскоп вращаете вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью а сама эта ось вращается, в свою очередь, вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью описывая коническую поверхность с постоянным углом при вершине (см. рис. 342).

Такое движение гироскопа называется регулярной прецессией.

5. Движение свободного твердого тела. Как известно, движение свободного твердого тела слагается из поступательного движения вместе с полюсом, в качестве которого при решении задач динамики выбирают обычно центр масс С тела, и из движения вокруг центра масс, как вокруг неподвижной точки (см. § 63). Если на тело действуют внешние силы , то движение полюса С описывается теоремой о движении центра масс где масса тела. В проекциях на неподвижные оси это равенство дает:

где координаты центра масс тела.

Для движения же вокруг центра масс теорема моментов, выражаемая равенством (38), дает в проекциях на главные центральные оси инерции тела три уравнения, совпадающие по виду с уравнениями (82). Таким образом, система дифференциальных уравнений (83), (82) описывает движение свободного твердого тела (снаряда, самолета, ракеты и т. д.),

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление