§ 132. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ И ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Для составления дифференциальных уравнений движения тела, имеющего неподвижную точку, необходимо найти выражение главного; момента количеств движения Ко (кинетического момента) и кинетической энергии Т тела в этом случае движения.

1. Кинетический момент тела, движущегося вокруг неподвижной точки. Вектор Ко можно определить, найдя его проекции на какие-нибудь три координатные оси Охуz. Чтобы получить соответствующие формулы в наиболее простом виде, возьмем в качестве осей Охуz (см. ниже рис. 341) жестко связанные с телом главные оси инерции этого тела для точки О (см. § 104).

Начнем с вычисления По аналогии с формулами (47) из § 28

Но по формулам Эйлера [§ 62, формулы (77)]

где — проекции на оси Охуz мгновенной угловой скорости тела; — координаты точек тела.

Подставим эти значения в предыдущее равенство; при этом заметим, что члены с произведениями координат можно не подсчитывать, так как оси Охуz являются главными осями инерции и для них все центробежные моменты инерции равны нулю, т. е. . В результате, вынося общий множитель за скобки, найдем

где величина в квадратных скобках представляет собой, согласно формулам (3) из § 102, главный момент инерции тела относительно оси Ох. Аналогичные выражения получим для и окончательно будет

Формулы (78) дают выражения проекций вектора Ко на главные оси инерции тела для точки О.

Если оси Охуz не будут главными, то, как нетрудно подсчитать, формулы (78) примут следующий более сложный вид:

2. Кинетическая энергия тела, движущегося вокруг неподвижной точки. Так как любое элементарное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку О, представляет собой элементарный поворот с угловой скоростью со вокруг мгновенной оси вращения 01, проходящей через эту точку (см. § 60), то кинетическую энергию тела можно определить по формуле

Подставим сюда значение из формулы (12) (см. § 105, рис. 280) и одновременно учтем, что так как вектор направлен по оси . Тогда получим

Если в качестве координатных осей взять главные оси инерции тела для точки О, то все центробежные моменты инерции обратятся в нули и тогда

3. Динамические уравнения Эйлера. Пусть на твердое тело, имеющее неподвижную точку О, действуют заданные силы (рис. 341). Одновременно на тело будет действовать реакция связи (на рисунке не показана). Чтобы исключить из уравнений движения эту неизвестную реакцию, воспользуемся теоремой моментов относительно центра О (§ 116), представив ее в виде (74), т. е. в виде теоремы Резаля. Тогда поскольку уравнение (74) даст

(80)

где — скорость по отношению к инерциальной системе отсчета точки В, совпадающей с концом вектора .

Движение тела изучается тоже по отношению к инерциальной системе отсчета Но чтобы получить уравнения этого движения в наиболее простой форме, спроектируем обе части предыдущего равенства на жестко связанные с телом и движущиеся вместе с ним оси Охуz, являющиеся главными осями инерции тела для точки О. Тогда выражения проекций вектора Ко будут иметь простой вид, даваемый формулами (78), а входящие в них моменты инерции будут величинами постоянными.

Для вычисления проекций абсолютной скорости на подвижные оси представим как сумму относительной (по отношению к осям Охуz) скорости и переносной скорости апер. Тогда из уравнения (80)

(81)

Обозначим координаты точки В через . При этом, так как радиусом-вектором точки В является вектор (рис. 341), то

Как указано в § 64, при определении движение осей Охуz во внимание не принимается, следовательно, а при определении апер точку В можно рассматривать как принадлежащую телу, связанному с осями Охуz. Но это тело движется вокруг неподвижной точки О; следовательно, по первой из формул Эйлера [формулы (77) в § 62] , где «в — угловая скорость тела. Заменяя в найденных выражениях величины их значениями (78) и подставляя эти значения во второе из равенств (81), получим

Аналогичные выражения получаются для проекций первого из равенств (81) на оси (их можно найти круговой перестановкой индексов). Так как для связанных с телом осей Охуz величины постоянны, то окончательно найдем следующие дифференциальные уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки в проекциях на главные оси инерции тела для этой точки:

Уравнения (82) называются динамическими уравнениями Эйлера.

Рис. 341

Рис. 342

Если положение тела определять углами Эйлера (см. § 60), то основная задача динамики будет состоять в том, чтобы, зная найти закон движения тела, найти как функции времени. Для решения этой задачи надо к уравнениям (82) присоединить кинематические уравнения Эйлера (см. § 61), устанавливающие связь между и углами .

Динамические и кинематические уравнения Эйлера образуют систему шести нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка; интегрирование этой системы представляет собой сложную математическую задачу. В § 131 была изложена приближенная теория гироскопических явлений. Точно движение гироскопа описывается уравнениями (82). Для интегрирования этих уравнений при решении соответствующих конкретных задач обычно используют те или иные приближенные математические методы.

В случаях, когда это целесообразно, одно из уравнений (82) можно заменять теоремой об изменении кинетической энергии. Формула (79) используется также при составлении уравнений методом, изложенным в § 145 (задача 181 в § 146).

4. Пример. В качестве простейшего примера приложения полученных уравнений рассмотрим движение свободного гироскопа, закрепленного в центре тяжести, на который никакие силы, кроме силы тяжести, не действуют (см, § 131, п. 1). В этом случае и теорема моментов (см. § 116) дает:

Таким образом, вектор Ко имеет постоянное направление в инерциальной системе отсчета. Пользуясь этим, направим для упрощения дальнейших расчетов неподвижную ось вдоль вектора Ко (рис. 342); две другие оси, на чертеже не показанные, можно провести произвольно. Подвижные оси, связанные с гироскопом, проведем так, чтобы ось была направлена вдоль оси симметрии гироскопа. Тогда и последнее из уравнений (82), поскольку в нашей случае дает откуда

По этой причине из формул (78) следует, что . Но одновременно, как видно из рис. 342, , где — угол нутации (см. рис. 172 в § 60). Так как согласно равенству (а) то отсюда заключаем, что и или

где — начальное значение угла нутации.

Умножим теперь обе части первого из уравнений (82) на второго — на сложим эти равенства почленно, учитывая, что в нашем случае Тогда получим

Отсюда, интегрируя и деля обе части на постоянный множитель, найдем

Заменим здесь со и их значениями из кинематических уравнений Эйлера (см. § 61). Учитывая, что получим:

откуда

Но по доказанному левая часть этого равенства и постоянны. Следовательно, и

Наконец, последнее из кинематических уравнений Эйлера дает . Здесь, как мы нашли, постоянны. Следовательно, и

Итак, при любых начальных условиях рассматриваемый гироскоп вращаете вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью а сама эта ось вращается, в свою очередь, вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью описывая коническую поверхность с постоянным углом при вершине (см. рис. 342).

Такое движение гироскопа называется регулярной прецессией.

5. Движение свободного твердого тела. Как известно, движение свободного твердого тела слагается из поступательного движения вместе с полюсом, в качестве которого при решении задач динамики выбирают обычно центр масс С тела, и из движения вокруг центра масс, как вокруг неподвижной точки (см. § 63). Если на тело действуют внешние силы , то движение полюса С описывается теоремой о движении центра масс где — масса тела. В проекциях на неподвижные оси это равенство дает:

где — координаты центра масс тела.

Для движения же вокруг центра масс теорема моментов, выражаемая равенством (38), дает в проекциях на главные центральные оси инерции тела три уравнения, совпадающие по виду с уравнениями (82). Таким образом, система дифференциальных уравнений (83), (82) описывает движение свободного твердого тела (снаряда, самолета, ракеты и т. д.),