1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406
Макеты страниц
§ 132. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ И ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛАДля составления дифференциальных уравнений движения тела, имеющего неподвижную точку, необходимо найти выражение главного; момента количеств движения Ко (кинетического момента) и кинетической энергии Т тела в этом случае движения. 1. Кинетический момент тела, движущегося вокруг неподвижной точки. Вектор Ко можно определить, найдя его проекции на какие-нибудь три координатные оси Охуz. Чтобы получить соответствующие формулы в наиболее простом виде, возьмем в качестве осей Охуz (см. ниже рис. 341) жестко связанные с телом главные оси инерции этого тела для точки О (см. § 104). Начнем с вычисления Но по формулам Эйлера [§ 62, формулы (77)] где Подставим эти значения где величина в квадратных скобках представляет собой, согласно формулам (3) из § 102, главный момент инерции тела относительно оси Ох. Аналогичные выражения получим для Формулы (78) дают выражения проекций вектора Ко на главные оси инерции тела для точки О. Если оси Охуz не будут главными, то, как нетрудно подсчитать, формулы (78) примут следующий более сложный вид: 2. Кинетическая энергия тела, движущегося вокруг неподвижной точки. Так как любое элементарное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку О, представляет собой элементарный поворот с угловой скоростью со вокруг мгновенной оси вращения 01, проходящей через эту точку (см. § 60), то кинетическую энергию тела можно определить по формуле Подставим сюда значение из формулы (12) (см. § 105, рис. 280) и одновременно учтем, что Если в качестве координатных осей взять главные оси инерции тела для точки О, то все центробежные моменты инерции обратятся в нули и тогда 3. Динамические уравнения Эйлера. Пусть на твердое тело, имеющее неподвижную точку О, действуют заданные силы
где Движение тела изучается тоже по отношению к инерциальной системе отсчета Для вычисления проекций абсолютной скорости
Обозначим координаты точки В через Как указано в § 64, при определении Аналогичные выражения получаются для проекций первого из равенств (81) на оси Уравнения (82) называются динамическими уравнениями Эйлера. Рис. 341 Рис. 342 Если положение тела определять углами Эйлера Динамические и кинематические уравнения Эйлера образуют систему шести нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка; интегрирование этой системы представляет собой сложную математическую задачу. В § 131 была изложена приближенная теория гироскопических явлений. Точно движение гироскопа описывается уравнениями (82). Для интегрирования этих уравнений при решении соответствующих конкретных задач обычно используют те или иные приближенные математические методы. В случаях, когда это целесообразно, одно из уравнений (82) можно заменять теоремой об изменении кинетической энергии. Формула (79) используется также при составлении уравнений методом, изложенным в § 145 (задача 181 в § 146). 4. Пример. В качестве простейшего примера приложения полученных уравнений рассмотрим движение свободного гироскопа, закрепленного в центре тяжести, на который никакие силы, кроме силы тяжести, не действуют (см, § 131, п. 1). В этом случае Таким образом, вектор Ко имеет постоянное направление в инерциальной системе отсчета. Пользуясь этим, направим для упрощения дальнейших расчетов неподвижную ось По этой причине из формул (78) следует, что где Умножим теперь обе части первого из уравнений (82) на Отсюда, интегрируя и деля обе части на постоянный множитель, найдем Заменим здесь со и откуда Но по доказанному левая часть этого равенства и Наконец, последнее из кинематических уравнений Эйлера дает Итак, при любых начальных условиях рассматриваемый гироскоп вращаете вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью Такое движение гироскопа называется регулярной прецессией. 5. Движение свободного твердого тела. Как известно, движение свободного твердого тела слагается из поступательного движения вместе с полюсом, в качестве которого при решении задач динамики выбирают обычно центр масс С тела, и из движения вокруг центра масс, как вокруг неподвижной точки (см. § 63). Если на тело действуют внешние силы где Для движения же вокруг центра масс теорема моментов, выражаемая равенством (38), дает в проекциях на главные центральные оси инерции тела три уравнения, совпадающие по виду с уравнениями (82). Таким образом, система дифференциальных уравнений (83), (82) описывает движение свободного твердого тела (снаряда, самолета, ракеты и т. д.),
|
Оглавление
|