§ 82. РЕШЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПРИ КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ ТОЧКИ

В случае криволинейного движения точки основная задача динамики решается с помощью дифференциальных уравнений движения, полученных в § 77. Если задача решается в прямоугольных декартовых координатах, т. е. с помощью уравнений (10), то начальные условия, определяющие положение и скорость точки в начальный момент времени t=0, задаются в виде:

Проинтегрировав уравнения (10), находят координаты движущейся точки, как функции времени t, т. е. определяют закон движения точки. При этом полученные решения будут содержать шесть постоянных интегрирования значения которых должны определяться по начальным условиям (23).

Конкретный ход решения показан в рассматриваемой ниже задаче.

Рис. 220

Движение точки, брошенной под углом к горизонтальной плоскости в однородном поле тяжести. Изучим движение тела, брошенного с начальной скоростью направленной под углом а к горизонтальной плоскости, рассматривая его как материальную точку с массой . При этом сопротивлением воздуха пренебрегаем, а поле тяжести будем считать однородным полагая, что дальность полета и высота траектории малы по сравнению с радиусом Земли.

Поместим начало координат О в начальном положении точки. Направим ось вертикально вверх; горизонтальную ось Ох расположим в плоскости, проходящей через а вектор , а ось Oz проведем перпендиулярко первым двум осям (рис. 220). Тогда угол между вектором и осью будет а.

Изобразим двужущуюся точку М в произвольном положении. На нее действует только одна сила тяжести Р (си. примечание к задаче 93 в § 80), проекции которой на координатные оси равны:

Подставляя эти величины в уравнения ) и замечая, что и т. д., после сокращения на подучим:

Умножая обе части этих уравнений на и интегрируя, находим

Начальные условия (23) в нашей задаче имеют вид:

Удовлетворяя начальным условиям, получим

Подставляя эти значения в найденные выше решения и заменяя на и т. д., придем к уравнениям:

Интегрируя эти уравнения, получим:

Подстановка начальных данных дает и окончательно находим уравнения движения точки в виде:

Из последнего уравнения следует, что движение происходит в плоскости

Имея уравнения движения точки, можно методами кинематики определить все характеристики данного движения.

1. Траектория точки. Исключая из первых двух уравнений (24) время t, получим уравнение траектории точки:

Это уравнение параболы с осью, параллельной оси Таким образом, брошенная под углом к горизонтальной плоскости тяжелая точка движется в безвоздушном пространстве по параболе (Галилей).

2. Горизонтальная дальность. Определим горизонтальную дальность, т. е. измеренное вдоль оси расстояние Полагая в равенстве найдем точки пересечения траектории с осью Из уравнения получаем

Первое решение дает точку О, второе — точку С. Следовательно, и окончательно

Из формулы (26) видно, что такая же горизонтальная дальность X будет получена при угле , для которого , т. е. если угол . Следовательно, при данной начальной скорости в одну и ту же точку С можно попасть двумя траекториями: настильной и навесной

При заданной начальной скорости наибольшая горизонтальная дальность в безвоздушном пространстве получается, когда т. е. при угле

3. Высота траектории. Если положить в уравнении а, то определится высота траектории Н:

4. Время полета. Из первого уравнения системы (24) следует, что полное время полета Т определяется равенством

Заменяя здесь X его значением, получим

При угле наибольшей дальности все найденные величины имеют значения:

Полученные результаты могут находить некоторые приложения, например, во внешней баллистике для оценки того, как изменяется дальность полета при изменении угла а или скорости на очень малую величину, или же для ориентировочных оценок в случаях, аналогичных рассмотренному в приводимом примере.

Пример. Известно , что немецкий снаряд ФАУ-2 после вертикального запуска имел на высоте 20 км скорость и угол (поворот снаряда производился с помощью специальных приборов и рулей). Дальнейший полет снаряда практически происходил как полет брошенного тела в безвоздушном пространстве и на высотах, для которых можно еще грубо считать Тогда по формулам (27) должно быть:

Эти результаты очень близки к тем, которые имели место для данных снарядов фактически.

Первая космическая скорость. Рассмотрим еще одну задачу о движении брошенного тела. Найдем, какую начальную скорость надо сообщить телу, находящемуся на расстоянии от центра Земли, чтобы оно двигалось вокруг Земли по круговой орбите радиуса R (рис. 221); сопротивление воздуха считаем отсутствующим, а тело рассматриваем как материальную точку.

Рис. 221

Прежде всего замечаем, что так как скорость точки в любой момент времени должна быть направлена по касательной к траектории, то скорость следует направить перпендикулярно радиусу , где — начальное положение точки.

Для дальнейшего решения воспользуемся уравнениями (11). Рассматривая точку в произвольном положении М, проводим оси и изображаем действующую на точку силу тяготения F; численно , где m — масса точки, — ускорение силы тяготения в пункте М. Так как уравнения (11) примут вид:

Из первого уравнения находим, что и, следовательно,

После этого второе уравнение дает (если считать, что км — радиус земного экватора,

Эта наименьшая скорость, которую нужно сообщить брошенному телу, чтобы оно не упало обратно на Землю, называется круговой или первой космической скоростью (см. § 97, 98).