ЕГЭ и ОГЭ
Живые анекдоты
Главная > Физика > Краткий курс теоретической механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Научная библиотека

Научная библиотека

избранных естественно-научных изданий

Научная библиотека служит для получения быстрого и удобного доступа к информации естественно-научных изданий, получивших широкое распространение в России и за рубежом. На сайте впервые широкой публике представлены некоторые авторские издания написанные ведущими учеными страны.

Во избежании нарушения авторского права, материал библиотеки доступен по паролю ограниченному кругу студентов и преподавателей вузов. Исключение составляют авторские издания, на которые имеются разрешения публикации в открытой печати.

Математика

Физика

Методы обработки сигналов

Схемотехника

Астрономия

Разное

Макеты страниц

Глава XVIII. НЕСВОБОДНОЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

§ 90. НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Движение материальной точки будет несвободным, когда в силу наложенных связей она вынуждена двигаться по заданной поверхности или кривой. Ограничимся рассмотрением второго случая.

Движение точки по заданной неподвижной кривой. Рассмотрим материальную, точку, движущуюся по заданной гладкой неподвижной. кривой иод действием активных сил и реакции связи N (рис. 241). Выберем на кривой начало отсчета О и будем определять положение точки М криволинейной координатой (см. § 37). Проведем из точки М оси (см. § 42), т. е. касательную (в сторону положительного отсчета координаты s), главную нормаль (в сторону вогнутости кривой) и бинормаль и воспользуемся уравнениями (11) из § 77. Так как кривая гладкая, то реакция N перпендикулярна кривой, т. е. лежит в плоскости потому

В результате получим следующие дифференциальные уравнения движения точки по заданной кривой:

Уравнение (53) не содержит неизвестной реакции N и позволяет непосредственно определить закон движения точки вдоль кривой, т. е. зависимость Этим уравнением можно пользоваться и в случае, когда кривая не является гладкой, присоединив к силам силу трения . Но так как то в этом случае в уравнение (53) через силу трения войдет еще и реакция

Уравнения (54) служат для определения реакции связи N. Из уравнений видно, что при криволинейном движении динамическая реакция в отличие от статической кроме действующих активных сил и вида связи зависит еще от скорости. Эту скорость (если она не задана) можно найти или проинтегрировав уравнение (53), или же, что обычно проще, с помощью теоремы об изменении кинетической энергии точки; в уравнение (52), выражающее эту теорему для случая связей без трения, реакция N тоже не входит.

Рис. 241

Рис. 242

Задача 105. Тяжелому кольцу М, нанизанному на горизонтально расположенную гладкую проволочную окружность, сообщают начальную скорость направленную по касательной к окружности. При движении на кольцо действует сила сопротивления где — масса кольца; v — его скорость; k — постоянный коэффициент. Найти, через сколько секунд кольцо остановится.

Решение. Помещаем начало отсчета в начальном положении кольца (рис. 242). Изображаем кольцо в произвольном положении и проводим оси На кольцо действуют сила тяжести Р, реакция N и сила сопротивления F. Составим уравнение (53), учитывая, что уравнение примет вид

Отсюда, разделяя переменные и учитывая, что при получим

В момент когда груз останавливается, Следовательно, полагая в полученном уравнении найдем

Время движения до остановки при данном законе сопротивления является конечным (см. задачу 93 в § 80).

Задача 106. В предыдущей задаче найти, какой путь пройдет кольцо вдоль окружности до остановки, считая, что на него действует не сила сопротивления, зависящая от скорости, а сила трения . Дано: радиус кольца начальная скорость коэффициент трения кольца об окружность

Решение. Выбираем начало отсчета О и проводим оси так же, как и в предыдущей задаче (рис. 242). Действующими на кольцо силами будут: Р, N и F, где F — теперь сила трения. Составляя уравнения (53) и (54), получим:

По модулю (было бы ошибкой вычислить силу трения как арифметическую сумму сил ). Замечая, что находим

Как видим, сила трения зависит через реакцию N от скорости кольца. Чтобы сразу найти зависимость s от v, заметим, что . Тогда, после сокращения на , уравнение движения кольца примет вид

Разделяя переменные и беря от обеих частей равенства соответствующие определенные интегралы, получим

откуда

и окончательно

В момент остановки Поэтому искомый путь, если считать приближенно будет

Задача 107. Груз весом Р, подвешенный на нити длииой I, отклоняют от вертикали на угол а в положение и отпускают без начальной скорости. Определить натяжение нити в момент, когда груз дойдет до наннизшего положения

Решение. Изображаем груз в том положении, для которого надо найти натяжение нити, т. е. в положении (рис. 243). На груз действуют сила тяжести Р и реакция нити Т. Проводим нормаль в сторону вогнутости траектории и составляем уравнение (54), учитывая, что в нашем случае . Получим

где — скорость груза в положении . Для определения воспользуемся уравнением (52)

Работу на участке совершает только сила Р. Поэтому

Так как , то, подставляя найденное значение работы в равенство (а), получим и окончательно найдем

В частном случае, если угол начального отклонения натяжение нити при прохождении через вертикаль будет равно т. е. утроенному весу груза.

Полученное решение показывает, что динамические реакции действительно могут значительно отличаться от статических,

Рис. 243

Рис. 244

Задача 108. Желоб состоит из двух дуг АВ и BD окружностей радиуса R, расположенных в вертикальной плоскости так, что касательная BE в точке сопряжения горизонтальна (рис. 244). Пренебрегая трением, определить, на какой высоте h над линией BE надо положить в желоб тяжелый шарик, чтобы он соскочил с желоба в точке лежащей на таком же расстоянии h ииже линии

Решение. Шарик оторвется от желоба в той точке где его давление на желоб (или реакция N желоба) обратится в иуль. Следовательно, задача сводится к определению N, Изображаем шарик в точке На него действуют сила тяжести Р и реакция желоба N. Составляя уравнение (54) в проекции на внутреннюю нормаль найдем, что

Так как в точке отрыва то, учитывая, что получим для определения h уравнение

Величину найдем из теоремы об изменении кинетической энергии. Так как то уравнение (52) дает

Работу здесь совершает только сила Р, причем Следовательно, Подставляя это значение в уравнение (а), получим откуда

Задача 109. Груз М подвешен на нити длиной l (рис. 245). Какую наименьшую начальную скорость перпендикулярную нити, надо сообщить грузу, чтобы он описал полную окружность?

Решение. Груз опишет полную окружность, если на всем пути натяжение инти нигде (кроме, может быть, точки М) не обратится в нуль, т. е. нить нигде не будет смята. Если же в какой-нибудь точке где натяжение нити обратится в нуль, то иить перестанет удерживать груз и он будет продолжать движение как свободная точка (по параболе).

Для решения задачи найдем натяжение Т нити в произвольном положении определяемом углом , а затем потребуем, чтобы при любом угле было

В положении М на груз действуют сила Р и натяжение нити Т, Составив уравг нение (54) в проекции на внутреннюю нормаль получим

где v — скорость груза в положении М. Для определения v применяем теорему об изменении кинетической энергии:

В данном случае и, следовательно,

Подставив это значение в уравнение (а) и вычислив получим

Наименьшее значение Т будет иметь при

Чтобы Т нигде (кроме, может быть, точки ) не обратилось в нуль, необходимо, чтобы было Отсюда

Рис. 245

Следовательно, наименьшая начальная скорость, при которой груз будет описывать полную окружность, определяется равенством

Допустим, что вместо нити груз будет подвешен на жестком легком (невесомом) стержне длины l. В этом случай (так как стержень. в отличие от нити может работать и на растяжение, и на сжатие), груз опишет полную окружность, если при движении его скорость нигде (кроме, может быть, точки. М) обратится в нуль. Применяя уравнение (52) для перемещения и считая в точке М скорость получим . Отсюда следует, что в данном случае

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление