1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406
Макеты страниц
Глава XVIII. НЕСВОБОДНОЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ§ 90. НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИДвижение материальной точки будет несвободным, когда в силу наложенных связей она вынуждена двигаться по заданной поверхности или кривой. Ограничимся рассмотрением второго случая. Движение точки по заданной неподвижной кривой. Рассмотрим материальную, точку, движущуюся по заданной гладкой неподвижной. кривой иод действием активных сил В результате получим следующие дифференциальные уравнения движения точки по заданной кривой: Уравнение (53) не содержит неизвестной реакции N и позволяет непосредственно определить закон движения точки вдоль кривой, т. е. зависимость Уравнения (54) служат для определения реакции связи N. Из уравнений видно, что при криволинейном движении динамическая реакция в отличие от статической кроме действующих активных сил и вида связи зависит еще от скорости. Эту скорость (если она не задана) можно найти или проинтегрировав уравнение (53), или же, что обычно проще, с помощью теоремы об изменении кинетической энергии точки; в уравнение (52), выражающее эту теорему для случая связей без трения, реакция N тоже не входит. Рис. 241 Рис. 242 Задача 105. Тяжелому кольцу М, нанизанному на горизонтально расположенную гладкую проволочную окружность, сообщают начальную скорость Решение. Помещаем начало отсчета Отсюда, разделяя переменные и учитывая, что при В момент Время движения до остановки при данном законе сопротивления является конечным (см. задачу 93 в § 80). Задача 106. В предыдущей задаче найти, какой путь пройдет кольцо вдоль окружности до остановки, считая, что на него действует не сила сопротивления, зависящая от скорости, а сила трения Решение. Выбираем начало отсчета О и проводим оси По модулю Как видим, сила трения зависит через реакцию N от скорости кольца. Чтобы сразу найти зависимость s от v, заметим, что Разделяя переменные и беря от обеих частей равенства соответствующие определенные интегралы, получим откуда и окончательно В момент остановки Задача 107. Груз весом Р, подвешенный на нити длииой I, отклоняют от вертикали на угол а в положение Решение. Изображаем груз в том положении, для которого надо найти натяжение нити, т. е. в положении (рис. 243). На груз действуют сила тяжести Р и реакция нити Т. Проводим нормаль где Работу на участке Так как В частном случае, если угол начального отклонения Полученное решение показывает, что динамические реакции действительно могут значительно отличаться от статических, Рис. 243 Рис. 244 Задача 108. Желоб состоит из двух дуг АВ и BD окружностей радиуса R, расположенных в вертикальной плоскости так, что касательная BE в точке сопряжения горизонтальна (рис. 244). Пренебрегая трением, определить, на какой высоте h над линией BE надо положить в желоб тяжелый шарик, чтобы он соскочил с желоба в точке Решение. Шарик оторвется от желоба в той точке Так как в точке отрыва Величину Работу здесь совершает только сила Р, причем Задача 109. Груз М подвешен на нити длиной l (рис. 245). Какую наименьшую начальную скорость Решение. Груз опишет полную окружность, если на всем пути натяжение инти нигде (кроме, может быть, точки М) не обратится в нуль, т. е. нить нигде не будет смята. Если же в какой-нибудь точке Для решения задачи найдем натяжение Т нити в произвольном положении В положении М на груз действуют сила Р и натяжение нити Т, Составив уравг нение (54) в проекции на внутреннюю нормаль где v — скорость груза в положении М. Для определения v применяем теорему об изменении кинетической энергии: В данном случае Подставив это значение Наименьшее значение Т будет иметь при Чтобы Т нигде (кроме, может быть, точки Рис. 245 Следовательно, наименьшая начальная скорость, при которой груз будет описывать полную окружность, определяется равенством Допустим, что вместо нити груз будет подвешен на жестком легком (невесомом) стержне длины l. В этом случай (так как стержень. в отличие от нити может работать и на растяжение, и на сжатие), груз опишет полную окружность, если при движении его скорость нигде (кроме, может быть, точки. М)
|
Оглавление
|